Analysis 1 (Q5959667)

Dieses Lehrbuch umfasst den Stoff der Vorlesung Analysis 1, wie sie gewöhnlich an deutschen Hochschulen im ersten Semester eines Mathematik- oder naturwissenschaftlichen Studiums gelehrt wird. Das Buch richtet sich daher gleichermaßen an Lehrende (die das Buch als Grundlage bzw.\ Leitfaden für ihre Vorlesung verwenden können) wie auch an Studierende (die das Buch kursbegleitend lesen können). Behandelt werden: 1.~Grundlagen der Analysis (reelle Zahlen, Folgen, Reihen, Funktionen, topologische Grundbegriffe in \({\mathbb R}^d\) und \({\mathbb C}^d\)). 2.~Der Begriff der Stetigkeit (Zwischenwertsatz, Kompaktheit, gleichmäßige Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz). 3.~Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung (Mittelwertsatz, Exponentialfunktion, das Anfangswertproblem \(\dot{X}=AX\), das Riemannsche Integral, Regelfunktionen, Taylorformel). 4.~Differentialgleichungen und Fourierreihen (das Anfangswertproblem \(\dot{X}=F(t,X)\), Phasenflüsse, elementare Lösungsmethoden, Strömungsbilder linearer autonomer Systeme, Fourierreihen für stückweise glatte und Regelfunktionen, Hilbertraumtheorie). Aus dieser Aufzählung wird bereits deutlich, dass der hier gebotene Stoffumfang den einer typischen Analysis-1-Vorlesung überschreitet. Dies ist wohlüberlegt. Das Buch ist mit dem Ziel konzipiert, Studierende frühzeitig mit den Hilfsmitteln vertraut zu machen, die in den angewandten Wissenschaften von Anfang an benutzt werden. In der Tat ist insbesondere die Theorie der Differentialgleichungen hier ein zentrales Thema, um das herum der Stoff aufgebaut ist und das dieses Buch (und seine Fortsetzungen) als roter Faden durchzieht. In Vorbereitung darauf werden frühzeitig weitere Themen (etwa Analysis im Mehrdimensionalen) abgehandelt, welche für das Verständnis der Differentialgleichungen notwendig sind und welche in herkömmlichen Vorlesungen traditionellerweise erst später behandelt werden. Damit dieser Mehrumfang an Stoff im ersten Semester durchgenommen werden kann, ist die Darstellung an anderen Stellen bewusst knapper gehalten als üblich. So ist etwa die Theorie der Reihen hier zwar in üblicher Weise enthalten, kann aber nach Einführung der Grundbegriffe auch ohne Verlust übersprungen werden, da folgendes Material nicht auf sie zurückgreift. Die Darstellung ist durchgehend angenehm knapp und präzise. Zielführend und ohne Umwege werden die wesentlichen Begriffe eingeführt, werden die Fragestellungen durch gut gewählte Beispiele und Gegenbeispiele motiviert und werden dann die Sätze und Beweise formuliert und in den Gesamtzusammenhang gestellt. Die Übungsaufgaben ergänzen den Stoff gut und sind geeignet, das Gelernte wiederholen und vertiefen zu lassen (ihre Anzahl ist allerdings für eine Grundvorlesung etwas gering). Sehr positiv ist auch, dass einige spezielle Themen und Beispiele behandelt werden, die oft keinen Eingang in derartige Einführungsvorlesungen finden: so werden flächenfüllende Kurven nach Peano konstruiert, es wird das van der Waerdensche Beispiel einer stetigen, nirgends differenzierbaren Funktion diskutiert, der Fundamentalsatz der Algebra wird bewiesen, und es findet sich der Hermitesche Beweis für die Transzendenz von \(e\). Insgesamt handelt es sich hier um eine Analysis-Vorlesung ``klassischer'' Prägung: Die Betonung liegt vor allem auf den Ergebnissen, weniger auf den Methoden (so wird nicht auf den Einsatz moderner Computer-Algebra-Systeme eingegangen). In jedem Fall ergibt alles zusammen, von der Darstellung bis zur Stoffauswahl, eine genau durchdachte und gut lesbare Einführung in die Analysis, die Lehrenden eine zuverlässige Basis bei der Konzeption einer entsprechenden Vorlesung bietet und Lernenden nicht nur die Grundlagen der Theorie eröffnet, sondern sie auch zu einigen der Schönheiten und Höhepunkte der Analysis führt.