The space of Lelek fans in the Cantor fan is homeomorphic to Hilbert space (Q5962089)

Soit \(X\) un espace métrique compact. Si \(f:X\to I=[0,1]\) est une fonction, soient \(H_f=\{(x,t)\in X\times I:0\leq t\leq f(x)\}\) et \(G_f^+=\{(x,f(x))\in X\times I:f(x)>0\}\). L'ensemble \(\mathrm{USC}(X)\) des fonctions semi-continues supérieurement de \(X\) dans \(I\) est muni de la topologie définie par la distance \(D(f,g)\) égale à la distance de Hausdorff entre \(H_f\) et \(H_g\) dans \(X\times I\). Soit \(\mathrm{SDC}(X)\) le sous-ensemble de \(\mathrm{USC}(X)\) formé des fonctions \(f\) telles que \(G_f^+\) soit dense dans \(H_f\). Les auteurs montrent que le couple \((\mathrm{USC}(X),\mathrm{SDC}(X))\) est homéomorphe à \((I^{\mathbb N},]0,1[^{\mathbb N})\) si, et seulement si, le compact \(X\) est parfait. Ils en déduisent que le sous-espace de l'espace des continus de l'éventail de Cantor formé des continus homéomorphes à l'éventail de Lelek est une copie de l'espace de Hilbert \(\ell^2\).