Sur les jets liquides. (Q5965901)

Es liege ein dünner Flüssigkeitsstrahl vor, der durch eine Leitkurve \(D\) mit der Bogenlänge \(s\) beschrieben wird, und dessen Normalschnitte den Flächeninhalt \(\tau (s,t)\) besitzen. Ist \(w(s,t)\) die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen längs \(D\), so lautet die Kontinuitätsgleichung für imkompressible Flüssigkeit: \[ \frac {\partial \tau }{\partial t} + \frac {\partial }{\partial s} (w\tau ) =0. \] Der Druck \(p\) im Strahleninnern sei von dem äußeren Druck verschieden und besitze den Mittelwert \(\overline p(s,t,)\) über die Querschnitte; wird \(D\) von Deren Schwerpunkten gebildet, und macht man die Annahme, daß\ der Druck in den Punkten von \(D\) mit \(\overline p\) übereinstimmt, so ist \(\tau \) von \(s\) unabhängig, und es entsteht der sogennante ``lineare'' Zustand. Aus der Resultante der Drucke und der äußeren Kräfte setzt man die Bewegungsgleichungen des Strahles zusammen, die eine bemerkenswerte Analogie zu der eines biegsamen, unausdehnbaren Fadens zeigen. Die Gesamtheit aller Differentialgleichungen für \(\tau, w, \overline p, x, y, z\) bildet ein normales System vom Rang 9, woraus folgender Existenzsatz entspringt: Die Vorgabe von \(\tau,\overline p\), Strahlrichtung und -geschwindigkeit als Funktion der Zeit in der der Lage nach bekannten Austrittöffnung des Strahles legt diesen eindeutig fest. Sind diese Anfangsbedingungen und die äußeren Kräfte von \(t\) unabhängig, so gibt es einen eindeutig bestimmten permanenten Zustand des Strahles, der für den Schwerkraft Kettenlinienform haben muß. Ist der Strahl aufwärts gerichtet, so besteht der aufsteigende Ast aus einer Kettenlinie, der absteigende (im Auflösungszustand) aus einer Parabel. Die Experimente scheinen diese Ergebnissezu bestätigen.