Sur les caractéristiques du tore. (Q5965915)

Verf. betrachtet die Summen \(S_n (F,\theta _0)\) von \textit{Carleman} aus der vorstehend besprochenen Note und wendet auf sie die in den oben besprochenen Noten eingeführten Methoden an; er zeigt, daß, wenn die Rotationszahl der Transformation \(T\) irrational ist, der Grenzwert \(\lim _{n\to \infty } S_n (F,\theta _0)\) nicht nur existiert, sondern von \(\theta _0\) unabhängig ist. In der Tat kann man jeder stetigen Funktion \(F(\theta )\) eine Funktion \(G(\omega )\) der Periode \(2\pi \) zuordnen, die höchstens abzählbar viele Unstetigkeiten besitzt, derart, daß \[ \lim _{n\to \infty } S_n (F, \theta _0)=\int _0^{2\pi } G(\omega )\,d\omega. \] Das Resultat gilt in gewissem Sinne auch dann noch, wenn \(F(\theta )\) nur beschränkt und meßbar nach \textit{Borel} vorausgesetzt wird. Falls es für \(T\) eine invariante perfekte nirgends dichte Menge \(J\) gibt, so kann \(F(\theta )\) als eine auf \(J\) definierte und stetige Funktion angenommen werden und \(\theta _0\) als willkürlicher Punkt auf \(J\).