Sur les fonctions holomorphes et bornées dans un demiplan. (Q5966007)

(1) \(F(z)\) sei in \(x\geqq 0\) holomorph und beschränkt (\(z=x+iy\)). Bei passender Wahl des \(n\)-ten Integrals \(F^{(-n)}(z)\) sei \[ |F^{(-n)}(iy)|<m_n \quad \text{für} \quad |y|>n, \] und es sei \[ \liminf_{n\to \infty}\root n \of {m_n}= 0. \] Dann ist \(F(z)\) identisch Null. (2) \(F(x)\) sei in \(\langle a,b\rangle\) stetig. Es gebe eine Folge \(n_p\to \infty\), so daß \[ |F^{(-n_p)}(x)|<m_p \] in \(\langle a,b\rangle\) und daß \[ \sum_1^\infty (n_{p+1}-n_p) \root{n_p+1}\of {m_{p+1}} \] konvergiert. Dann ist \(F(x)\) identisch Null. (3) \(F(z)\) sei holomorph für \(x\geqq 0\) und \[ \limsup_{x\to \infty}\frac{\log|F(x)|}x=d>0. \] Es existiere ein reelles \(\varkappa\) und eine für \(x\geqq 0\) holomorphe Funktion \(Q(z)\), so daß \[ |Q(z)|> r > 0 \quad \text{für} \quad x\geqq 0, \quad \lim_{x\to \infty}\frac{\log|Q(x)|}x=l< d \] und \[ |F(z)|<e^{\varkappa x}|Q(z)| \] ist. Endlich sei \(|F^{(n)}(iy)| < m_n\); dann ist \[ \liminf_{n\to \infty} \root n \of{m_n}> 0. \] (4) \(F(z)\) sei holomorph in \(x\geqq a\). Zu jedem \(b> 0\) existiere ein \(M_b\), so daß \(|F(z)|< M_b\) in \(a\leqq x\leqq b\). Zu jedem \(L\) existiere eine Folge \(x_1^{(L)}\), \(x_2^{(L)}\), \dots, \(x_n^{(L)}\to \infty\), so daß \[ |F(x_n^{(L)}+iy)|e^{Lx_n^{(L)}}<M_L' \] ist; dann ist \(F(z)\) identisch Null.