Sur la loi des grands nombres. (Q5967105)

Es sei \(x\) eine Wahrscheinlichkeitsgröße. Das \textit{Tschebyscheff}sche Theorem wird im allgemeinen unter der Voraussetzung bewiesen, daß die mathematische Erwartung von \(x\) und \(x^2\) existiert. Die zweite Voraussetzung ist, wie der Verf. in zwei Beweisen zeigt, nicht notwendig. Der erste Beweis geht so vor: statt der Reihe der Werte von \(x\) wird die neue Reihe \(y\) betrachtet, die durch \(y_n = \left\{ \begin{matrix} \l & \l \\ x_n & \text{ für } |x_n| \leqq n \\ 0 & \text{ für } |x_n| > n \\ \end{matrix} \right. \) definiert wird. Es sei \(b_n\) die mathematische Erwartung von \(y_n^2\). Unter der Voraussetzung, daß die mathematische Erwartung von \(x\) existiert, wird gezeigt, daß \(\sum\limits_1^n b_k\) ein \(o(n^2)\) ist, was zum Beweis des Theorems nach \textit{Tschebyscheff} für die \(y\) genügt. Aus der Konvergenz der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Beziehung \(x_n \not = y_n\) ergibt sich der Beweis. -- Der zweite Beweis geht von den durch \textit{P. Levy} (z. B. Calcul des probabilités, 1925; F. d. M. 51, 380 (JFM 51.0380.*)) eingeführten charakteristischen Funktionen \(\varphi (t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{zit} \, dF(z)\) aus, wo \(F(z)\) die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(x\) ist. Es genügt zu zeigen, daß \(n \cdot \log \varphi \left( \dfrac tn \right) \) gleichmäßig \(\to 0\) geht mit \(n \to \infty\).