Réflexions sur le polynome d'approximation \[ \sum\limits _{\nu=0}^n{n\choose \nu}\varphi \left(\nu \over n\right)x^{\nu}(1-x)^{n-\nu}. \] (Q5967223)

Der berühmte Satz von Weierstraß über die Approximation einer stetigen Funktion ist mehrfach bewiesen worden. Der einfachste Beweis ist der, der sich mittels des Polynoms \[ P_n(x) = \sum\limits _{\nu=0}^n{n\choose \nu}\varphi \left(\nu \over n\right)x^{\nu}(1-x)^{n-\nu} \] ableiten läßt, wobei \(\varphi(x)\) eine im Intervall \(0\leqq x \leqq 1\) stetige Funktion ist. Das Polynom hat \textit{S. Bernstein} [On the best approximation of continuous functions by polynomials of a given degree. Thesis (1912; JFM 43.0493.01)] aufgestellt, und er hat bewiesen, daß für \(0 \leqq x \leqq 1\) stets die Beziehung \(\lim\limits_{n\to\infty} P_n(x) = \varphi(x)\) gilt. -- Verf. untersucht die Differenz \(P_n(x) - \varphi(x)\), aufgefaßt als Funktion von \(\dfrac1n\). Es wird zuerst kurz der Beweis des Satzes von Weierstraß gebracht, dann werden die Koeffizienten von \(P_n(x)\) untersucht, und schließlich folgt die Behandlung der Differenz \(P_n(x) - \varphi(x)\) und eine genauere Angabe über die Ordnung der Annäherung.