Sulla integrazione delle forme differenziali lineari. (Q5967270)

Die notwendigen Integrabilitätsbedingungen \(\dfrac{\partial X_i}{\partial x_h}=\dfrac{\partial X_h}{\partial x_i}\) einer Linearform \(\textstyle\sum\limits_1^n X_i\,dx_i\) sind im allgemeinen nur dann hinreichend, wenn sie im ganzen \(R_n\), dagegen nicht, wenn sie nur in einem allgemeinen Gebiete \(A\) erfüllt sind. Dagegen lassen sich Fälle angeben, in denen auch letzteres gilt. z. B. wenn a) identisch in \(A\) \[ \textstyle\biggl(\sum x_i\,\dfrac{\partial }{\partial xi}\biggr)^{(h)}X_k=\alpha_hX_k\;\;\text{oder}\;\; \biggl(\sum x_i\,\dfrac{\partial X_k}{\partial x_i}\biggr)^{(h)}= \alpha_hX_k \] mit \(\alpha_h\) = const. ist, oder b) die linken Seiten in a) homogene Funktionen gleicher Ordnung der \(x_i\) sind, oder c) die \(X_i\) in \(A\) unendlich oft differenzierbar sind und gleichmäßig beschränkte Ableitungen besitzen. Im Falle c) läßt sich das Integral der Form als Reihe homogener Polynome schreiben.