On the number of decompositions of an integer into two relatively prime factors. (Q5967451)

Es sei \(\nu(n)\) die Anzahl der Zerlegungen von \(n\) in zwei relativ prime Faktoren und \(F(x)\) die summatorische Funktion von \(\nu(n)\). Schreibt man \[ F(x)=\sum_1^\infty \nu(n)=\frac{6}{\pi^2} \left\{ x \log x+\left( 2C-1-\frac{12 \zeta'(2)}{\pi^2} \right)^2 x \right\} + R(x), \] so gilt nach Mertens: \(R(x) = O(x^{\frac 12}\log x)\). Nun hat man bei der bekannten Ableitung dieses Resultats Abschätzungen von berühmten zahlentheoretischen Funktionen vorzunehmen, über die seither insbesondere durch van der Corput und Littlewood wichtige neue Resultate gewonnen worden sind. Indem Verf. daraufhin die Rechnung erneut vornimmt, kann er \[ R(x)=O(x^{\frac 12}e^{-A \sqrt{\log x \log_2x}}) \] beweisen; \(A\) ist hier eine passende absolute Konstante. Unter Voraussetzung der Riemannschen Hypothese gilt analog: \[ R(x)=O(x^\theta),\;\theta<\frac{367}{768}, \] letzteres zugleich mit dem van der Corputschen Exponenten beim Dirichletschen Teilerproblem verbesserbar.