Ein Satz über Dirichletsche Reihen. (Q5967454)

Beweis eines für die analytische Zahlentheorie bedeutungsvollen Satzes unter sehr allgemeinen Voraussetzungen: Ist \(f(s)=\sum_1^\infty a_ne^{-\lambda_ns}\) für \(\sigma>0\) konvergent, \(\mathfrak R f(s)\) in jedem endlichen Teil von \(\sigma>0\), \(t>1\) beschränkt, so daß\ \(\varphi(s)=\lim_{\sigma \to \infty} \mathfrak R f(s)\) für fast alle jener \(t\) vorhanden ist, ferner \(\sum_1^\infty | a_n| ^2\) konvergent und \(\sum_1^\infty | a_n| \lambda_n^{-k}\) wenigstens für passendes \(k\) konvergent; ist endlich für jedes \(\varepsilon>0\) bei \(t>t_0(\varepsilon)\) und \(0<u<h(\varepsilon)\) stets \(| \varphi(t+u)- \varphi(t)| <\varepsilon\), so gilt bei \(T \to \infty\) \[ \lim \frac 1T \int_1^T \varphi^2(t) dt=\frac 12 \sum_1^\infty | a_n| ^2. \]