Ein Satz über Gitter und Volumen. (Q5967518)

Bei dem üblichen Beweis des Fundamentalsatzes von Minkowski: ``Ein nirgends konkaver Körper vom Volumen \(2^n\), für den der Nullpunkt des Gitters Mittelpunkt ist, enthält außer diesem Gitterpunkt mindestens noch zwei weitere Gitterpunkte'', erscheint es einigermaßen paradox, wieso sich aus der ganz allgemeinen Zahl des Volumens eine Aussage über Ganzzahligkeit, noch dazu für Körper von ganz besonderen Eigenschaften ergeben soll. Dies legte die Vermutung nahe, daß in dem Begriff des Volumens schon der des Gitters enthalten ist, was die Untersuchung Scherrers auch bestätigt. Nach Festlegung der grundlegenden Begriffe (\(n\)-dimensionale affine Mannigfaltigkeit, Grundvektor, Gitterparallelepiped) führt eine einfache zahlentheoretische Betrachtung zu folgendem Satz: ``Unter \(Z\) beliebig zerstreut liegenden Gitterpunkten finden sich immer zwei voneinander verschiedene, deren relative Koordinaten in bezug auf die Grundvektoren des Gitters ganzzahlige Vielfache der Größe \(\left[\root n\of Z\right]-1\) sind.'' Die Forderung der Existenz eines Jordanschen Volumens liefert dann den allgemeinen Satz über Gitter und Volumen: ``In einem Gebiete, dem ein Jordansches Volumen \(\varDelta\) zukommt, gibt es mindestens zwei Punkte, deren relative Koordinaten in bezug auf die zugrunde gelegten Einheitsvektoren ganzzahlige Vielfache der \(\root n\of \varDelta\) sind''. Ohne Schwierigkeit ergibt sich hieraus ein einfacher Beweis des Minkowskischen Fundamentalsatzes.