Les fonctions réelles non analytiques et les solutions singulières des équations différentielles du premier ordre. (Q5967582)

Bekannte Ergebnisse von Darboux und Picard verallgemeinernd, behandelt Verf. die folgende Aufgabe: Es sei \(f(x, y, u)\) in einem Gebiete \(D\) dreimal stetig differentiierbar, ferner seien in einem Punkte \((a, b, b^\prime)\) von \(D\) die Bedingungen \[ f(a,b, b^\prime) = 0, \quad f_u^\prime(a,b, b^\prime) = 0, \quad f_x^\prime(a,b, b^\prime) + b^\prime f_y^\prime(a,b, b^\prime) \neq 0. \] erfüllt. Schließlich sei \[ f_{uu}^{\prime\prime}(a,b, b^\prime) \neq 0. \] Es ist zu bestimmen eine reelle Funktion \(y = \varphi(x)\) \((a \leqq x \leqq a +l)\) derart, daß durchweg \[ f\left(x, y, \frac{dy}{dx}\right) = 0 \] gelte, daß ferner \(\varphi(a) = b\), \(\varphi^\prime(a) = b^\prime\) sei. Damit diese Aufgabe lösbar sei, ist notwendig, daß \[ f_{uu}^{\prime\prime}(a,b, b^\prime)(f_{x}^{\prime}(a,b, b^\prime) + b^\prime f_{y}^{\prime}(a,b, b^\prime) < 0. \] Ist diese Bedingung erfüllt, so hat die Aufgabe bei genügend kleinem \(l\) genau zwei Lösungen.