Sur les rapports entre l'existence des intégrales \[ \int_0^1 f(x, y) dx, \int_0^1 f(x, y)dy \text{ et }\int_0^1dx \int_0^1 f(x, y)dy. \] (Q5967603)

Ruziewicz hat die Frage gestellt: Wenn für eine im Quadrat \((0 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq y \leqq 1)\) definierte und beschränkte Funktion die Lebesgueschen Integrale \[ (1)\quad \int_0^1 f(x, y)dx\;\text{für}\;0\leqq y \leqq 1 \] und \[ (2)\quad \int_0^1 f(x, y) dy\;\text{für } 0\leqq x\leqq 1 \] existieren, folgt dann daraus die Existenz des Integrals \[ (3)\quad \int_0^1 dx\int_0^1 f(x, y) dy? \] (Für Riemannsche Integrale ist nach Lichtenstein [Gött. Nachr. 1910, 468; d. M. 41, 331] bekanntlich die Antwort \textit{bejahend}.) Der Verf. zeigt zunächst: Unter der Voraussetzung der Hypothese, daß\ die Mächtigkeit des Kontinuums \(c=\aleph_1\) sei, ist die Antwort auf jene Frage \textit{negativ}. Dasselbe ergibt sich ohne diese Hypothese, nur auf Grund des Auswahlaxioms, wenn man den Begriff des Lebesgueschen Integrals dadurch modifiziert, daß\ Teilmengen von geringerer Mächtigkeit als \(\mathfrak c\) vernachlässigt werden sollen. Schließlich wird noch darauf hingewiesen, daß\ aus der auf S. 180 besprochenen Arbeit (Fundamenta Mathematicae 1, 112) folgt: Die Integrale (1), (2), (3) (letztere auch bei Vertauschung von \(x\) und \(y)\) können für eine beschränkte Funktion \(f (x, y)\) Eistieren, ohne daß\ das Lebesguesche Doppelintegral von \(f (x, y)\) zu existieren braucht.