Sur les fonctions de lignes implicites. (Q5967610)

(Vgl. das vorhergehende Referat.) Die Arbeit überträgt einen Satz von Hadamard (S. M. F. Bull. 34; F. d. M. 37, 672 (JFM 37.0672.*), 1906) über Umkehrbarkeit von Punkttransformationen im \(n\)- dimensionalen Gesamtrahm auf Transformationen im Funktionalraum. Die Durchführung wird skizziert für den Raum der samt ihrem Quadrat summablen Funktionen \(u(s) (0 \leqq s \leqq 1),\) wobei die Entfernung zweier Raumpunkte \(u(s), U(s)\) durch \(\left[\int_0^1 (U-u)^2 ds\right]^{1/2}\) definiert ist, und für eine durchweg eindeutige und im Sinne dieser Entfernungsdefinition stetige Funktionaltransformation \(v(s) =\Phi [u(s)].\) Läßt sich in einem näher festgelegten Sinne diese Transformation \(v(s) +\Delta v(s) + =\Phi[u(s) -\delta u(s)]\) in der Umgebung einer festen Stelle \(u(s)\) durch eine \textit{lineare} Transformation von \(\delta u\) in \(\delta v\) annähern, so möge der Quotient \(\int_0^1 (\delta v)^2ds : \int_0^1(\delta u)^2ds\) für alle Funktionen \(\delta u(s)\) und für alle der Bedingung \(\int_0^1 u^2ds \leqq \varrho^2\) genügenden Funktionen \(u(s)\) eine von 0 verschiedene untere Grenze \(\mu_\varrho > 0\) haben. Dann wird behauptet, daß\ wie bei Hadamard die Divergenz des Integrales \(\int_0^1 \mu_\varrho d\varrho\) de hinreichend dafür ist, daß\ vermöge \(v(s) =\Phi[u(s)]\) auch umgekehrt jeder Funktion \(v(s)\) im Gesamtraum genau eine Funktion \(u(s)\) entspricht. -- Zum Schluß\ werden Ausdehnungen dieses Theorems auf andere Funktionsmannigfaltigkeiten angedeutet, wobei mit sachgemäß\ modifizierten Entfernungsbegriffen zu operieren ist.