Dynamical systems with two degrees of freedom. (Q5967670)

Diese Arbeit dürfte einen erheblichen Fortschritt unserer Kenntnisse über Differentialgleichungen zweiter Ordnung darstellen in der Richtung, die vor allem durch die Arbeiten \textit{Poincaré}'s mit so großem Erfolg eingeschlagen worden ist. Es werden solche Gleichungen betrachtet, die einem Variationsproblem der Form \[ \delta \int \{ \tfrac 12 [ ax'{}^2 + 2bx'y'+cy'{}^2]+ \alpha x'+\beta y'+\gamma \}\, dt=0 \] entspringen. Zunächst wird gezeigt, wie sie sich auf die Form \[ x''+\lambda y'=\gamma_x;\quad y''-\lambda x'=\gamma_y \quad (\lambda=a_y- \beta_x) \] transformieren lassen. \(\lambda = 0\) heißt der reversible, \(\lambda \neq 0\) der irreversible Fall. In jedem Falle besteht das Integral der lebendigen Kraft, das durch Einbeziehen einer Konstanten auch in die Form \[ \frac 12(x'{}^2+y'{}^2)=\gamma \] gebracht werden kann. Für den reversiblen Fall ist die Versinnbildlichung als Punktbewegung auf einer glatten Fläche wohlbekannt: \textit{Birkhoff} zeigt, daß\ auch der irreversible Fall als Bewegung auf einer glatten Fläche (der charakteristischen Fläche) unter Einwirkung eines Potentials gedeutet werden kann, wenn man noch annimmt, daß\ sich die Fläche mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse dreht. Das Hauptproblem besteht nun in dem Nachweis der Existenz periodischer Bahnen. Zunächst ergeben sich solche nach dem Vorgang von \textit{Whittaker} und \textit{Signorini} aus dem Minimumsprinzip, im irreversiblen Fall allerdings nur bei gewissen Einschränkungen über das Vorzeichen von \(\lambda\). Weiter heißt das Minimaximumprinzip: Wenn eine Funktion \(J\) in einem \(n\)-dimensionalen Kontinuum mit Einschluß\ des Randes stetig ist und \(l\) Punkte relativen Minimums besitzt, wenn man ferner jeden Weg von einem Minimum zum andern, für den \(J \leq J'\) ist, \textit{innerhalb} des Kontinuums so abändern kann, daß\ \(J \leq J'\) bleibt, so gibt es mindestens \(n+l-1\) Punkte der Minimaximumeigenschaft, d. h. Punkte, in deren infinitesimaler Nähe es mindestens zwei getrennte Gebiete mit kleineren \(J\)-Werten gibt. Damit kann z. B. folgender Satz bewiesen werden: ``Ist beim reversiblen Falle die charakteristische Fläche geschlossen und vom Geschlecht Null, gibt es ferner \(l \geqq 0\) periodische Bahnen vom Minimumtyp, so gibt es mindestens \(l+1\) periodische Bahnen vom Minimaximumtyp.'' Es folgen dann Untersuchungen über die Änderung des Verhaltens bei Änderung eines Parameters \(\mu\). In einem dritten Abschnitt wird der Begriff der ``Schnittfläche'' (surface of sections) erklärt: Eine stückweise analytische Fläche im Raume der \(x, y, x', y'\), gelegen auf dem dreidimensionalen Raume \(\frac 12(x'{}^2+y'{}^2)=\gamma\), regulär begrenzt durch eine endliche Anzahl geschlossener Stromlinien (d. h. Integralkurven) und von den anderen Stromlinien mindestens einmal im selben Sinne geschnitten. Dieser Begriff tritt in gewissen Fällen schon bei \textit{Poincaré} auf. Hier wird allgemein die Existenz geprüft. Endlich wird in einem vierten Abschnitt wieder in Fortführung von Untersuchungen \textit{Poincaré}'s die Frage der invarianten Punkte bei der Transformation \(T\), als welche sich die Bewegung auffassen läßt, und damit auch der periodischen Bahnen weiter gefördert, z. B. \textit{Poincaré}'s berühmtes Theorem über die invarianten Punkte bei Abbildung eines Kreisringes auf sich selbst erweitert (Vgl. das Ref. auf S. 834.)