On multiple integration by parts and the second theorem of the mean. (Q5967696)

Es handelt sich um zwei Formen der Produktintegration, die im Falle von zwei Funktionen zweier Veränderlichen \(f(x,y),g(x,y)\), beide von beschränkter Variation und die eine als stetig vorausgesetzt, folgendermaßen lauten: \[ \int_{0,0}^{a,b}g(x,y)df(x,y)=[fg]_{0,0}^{a,b}- \int_{x=0}^a[fdg]_{y=0}^b\int_{y=0}^b[fdg]_{x=0}^a+\int_{0,0}^{a,b}fdg, \] hierbei ist z. B. \([f]_{y=0}^bf(x,b)-f(x,y)\) und \([f]_{0,0}^{a,b}f(0,0)-f(a,0)-f(0,b)+f(a,b)\); ferner \[ \begin{multlined} \int_{0,0}^{a,b}g(x,y)df(x,y)=g(0,0)[f]_{0,0}^{a,b}+\int_{0,0}^{a, b}[f]_{x,y}^{a,b}dg(x,y)+ \\ \int_0^a[f]_{x,0}^{a,b}dg(x,0)+\int_0^b[f]_{0,y}^{a,b}dg(0,y). \end{multlined} \] Hieraus werden verschiedene Verallgemeinerungen des zweiten Mittelwertsatzes hergeleitet und eine von \textit{Lebesgue} herrührende Modifikation desselben kurz gestreift. (Vgl. das zweitnächste Ref.)