Sur les séries de facultés. (Q5967755)

Der erste, der sich eingehender mit Fakultätenreihen, also mit Reihenentwicklungen der Form \[ \text{(I)}\quad a_0+\varSigma_{n=0}^{\infty}a_{n+1}\;\frac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)} \] beschäftigt hat, scheint \textit{Schlömilch} zu sein (Leipz. Ber. 1859, 1863); er hat im besonderen ihren Zusammenhang mit dem Integral \[ \int_0^{\infty}e^{-xt}F(t)dt \] erkannt, das in verschiedenen Gebieten der Analysis eine wichtige Rolle spielt. Später haben \textit{N. Nielsen} (F. d. M. \textit{32}, 269, 1901; \textit{33}, 274 und 275, 1902) und \textit{Pincherle} (F. d. M. \textit{33}, 271 und 272, 1902; \textit{36}, 475, 1905) die Lehre von den Fakultätenreihen bearbeitet, aber erst \textit{Landau} (F. d. M. \textit{37}, 278, 1906) hat sie auf eine sichere Grundlage gestellt. Die Abhandlung von \textit{Nörlund} bedeutet eine weiteren, großen Fortschritt und eröffnet die Aussicht auf fruchtbare Anwendungen. Der Konvergenzbereich einer Fakultätenreihe (I) ist eine Halbebene, die links von einer Senkrechten zur Abszissenachse, der Konvergenzgeraden, begrenzt wird. Sie stellt eine analytische Funktion dar, die sich mit Innern des Konvergenzbereiches regulär verhält, ausgenommen die Punkte \(x=0,-1,-2,\dots\), wenn solche Punkte im Innern liegen. Was das Verhalten der Fakultätenreihe betrifft, wenn \(x\) ins Unendliche geht, so sei \(x=\sigma+i\tau\) und \(R_n(x)\) das Restglied, das entsteht, wenn man die Summe bei dem \(n\)-ten Gliede abricht. Dann läßt sich zeigen, daß \(| x^{n+1}R_n(x)|\) in der Halbebene \(\sigma\leqq \kappa\) kleiner als eine Konstante blebt; \(\kappa\) bedeutet eine positive Größe, größer als die Konvergenzabszisse \(\lambda\). Die Fakultätenreihe läßt daher mit beliebiger Annäherung das Verhalten der durch sie dargestellten analytischen Funktion \(f(x)\) erkennen, wenn \(x\) innerhalb des Konvergenzgebietes ins Unendliche geht, und sie erweist sich als ein nützliches Werkzeug, wenn man eine analytische Funktion in der Umgebung eines singulären Punktes untersuchen will. Sie liefert eine Darstellung der Funktion, die gültig bleibt, wenn man sich dem singulären Punkte in der Weise nähert, daß man in einem gewissen, von ihm ausstrahlenden Winkelraum verbleibt; dazu ist nur der singuläre Punkt ins Unendliche zu verlegen. In dieser Beziehung erweist sich also die Fakultätenreihe der gewöhnlichen Potenzreihe überlegen. Als Beispiel für die Anwendung des Verfahrens kann man die schöne Dissertation von \textit{Nörlund} anführen (F. d. M. \textit{41}, 393, 1910), in der auf die angegebene Art die Lösungen linearer Differenzengleichungen untersucht werden, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Welche singulären Punkte gestatten aber für ihre Nachbarschaft eine konvergente Entwicklung der Funktion in eine Fakultätenreihe? Wie \textit{Pincherle} und \textit{Nielsen} bewiesen haben, ist es dafür notwendig und hinreichend, daß die Funktion \(f(x)\) sich auf die Form bringen läßt \[ f(x)=\int_0^1t^{x-1}\varphi(t)dt; \] \(\varphi(t)\) bedeutet eine analytische Funktion, die im Innern des Kreises \(| t-1|=1\) regulär und auf dem Umfange des Kreises im Sinne von \textit{Hadamard} von endlicher Ordnung ist. Allein für die Anwendung auf bestimmte Funktionen läßt sich mit diesem Kennzeichen nicht viel anfangen. \textit{Nörlund} verfährt daher in anderer Weise. Neben die Entwicklung (I) wird die Entwicklung gestellt: \[ \text{(II)}\quad c_0+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n+1}\;\frac{n!}{x(x+\omega)\cdots(x+n\;omega)}, \] wo \(\omega\) eine positive Größe bezeichnet. Falls \(\omega>1\) ist, folgt die Giltigkeit der Entwicklung (II) aus der Giltigkeit der Entwicklung (I). Es gibt jedoch allgemeiner eine positive Größe \(\theta\) von der Beschaffenheit, daß eine Entwicklung (II) gilt, wenn \(\omega>\theta\) ist, aber nicht für \(\omega<\theta\); der Fall \(\omega=\theta\) bleibt unentschieden. Nunmehr entsteht die Frage, welche analytischen Funktionen \(f(x)\) eine Entwicklung (II) zulassen, wenn \(\omega\) geeignet gewählt wird. Die Antwort wird durch den bemerkenswerten Satz gegeben, daß dieses Klasse von Funktionen dieselbe ist, aus der divergente Potenzreihen \[ \frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\frac{A_3}{x^3}+\cdots \] entspringen, die jedoch im Sinne von \textit{Borel} unbedingt und gleichförmig summierbar sind. Da es leicht ist, die divergente Potenzreihe in eine konvergente Fakultätenreihe (II) umzuformen, wird man also zum Beispiel die Ergebnisse von \textit{Poincaré} über die Darstellung der Integrale gewisser Differentialgleichungen durch asymptotische Reihen durch Darstellungen mittels konvergenter Fakultätenreihen vervollständigen können. Bei den Potenzreihen ist es von grundlegender Bedeutung, daß der Konvergenzkreis bis zum nächsten singulären Punkt reicht. Gilt für die Entwicklungen (II) etwas Ähnliches, steht die Konvergenzgerade \(\sigma=\lambda\) in einfacher Beziehung zu den Singularitäten der durch sie dargestellten Funktion \(f(x)\)? Es war bis jetzt nur bekannt, daß auf der Konvergenzgeraden kein singulärer Punkt der Funktion zu liegen braucht. \textit{Nörlund} findet den weitergehenden Satz: Wenn die Funktion \(f(\sigma+i\tau)\) eine für hinreichend großes \(\sigma\) konvergente Entwicklung (II) gestattet und wenn es eine positive Größe \(L\) von der Beschaffenheit gibt, daß \(f(x)\) für \(\sigma>L+\varepsilon\) regulär und beschränkt ist, aber nicht in dem Streifen \(L-\varepsilon<\sigma<L+\varepsilon\), wie klein auch die positive Größe \(\varepsilon\) sei, so ist die Konvergenzabszisse \(\lambda\) der Entwicklung (II) entweder gleich \(L\) oder übertrifft \(L\) um eine Größe, die gegen Null strebt, wenn \(\omega\) über alle Grenzen wächst. Es gibt Entwicklungen (II), bei denen die Grenze \(L\) erst für \(\omega=\infty\) erreicht wird, aber in den Fällen, mit denen man es bei den Anwendungen in der Regel zu tun hat, wird \(\lambda\) bereits gleich \(L\), wenn man für \(\omega\) irgend einen Wert wählt, der größer ist als die früher erklärte Größe \(\theta\). Die Gerade \(\sigma=L\) ist für die Funktion \(f(x)\) charakteristisch, und zwar hat man zwei Fälle zu unterscheiden: 1. Auf der Geraden \(\sigma=L\) findet sich, in endlichem Abstande von der Abszissenachse, ein singulärer Punkt, oder der Streifen \(L-\varepsilon<\sigma<L\) enthält unzählig viele singuläre Punkte, die sich der Geraden \(\sigma=L\) unbeschränkt nähern, wenn man auf ihr ins Unendliche wandert. 2. Die Funktion \(f(x)\) ist für \(\sigma>L_1\) regulär, wo \(L_1<L\) ist. In diesem Falle hört die Entwicklung (II) auf, im Streifen \(L_1<\sigma<L\) zu konvergieren weil sie keinem Grenzwerte zustrebt, wenn \(x\), im Innern des Streifens verbleibend, ins Unendliche wandert; es läßt sich vielmehr zeigen, daß \(f(\sigma+i\tau)\) schneller wächst als irgend eine Potenz von \(\tau\). Der Nutzen der Fakultätenreihen liegt nicht nur in der Möglichkeit, durch sie analytische Funktionen in möglichst ausgedehnten Bereichen darzustellen, sondern wird auch bedingt durch die Leichtigkeit, mit der man sie den grundlegenden Operationen der Analysis unterwerfen kann. In dieser Beziehung sind die Fakultätenreihen fast so schmiegsam wie die Potenzreihen. Wenn sie diese sogar bei Differenzenbildung und deren Umkehrung übertreffen, so ist die Differentiation und die Integration etwas umständlicher. Auf diese Dinge bezieht sich der Schlußabschnitt der Abhandlung. Hierbei wird auch die Multiplikation zweier Fakultätenreihen untersucht und der Satz bewiesen, daß zwei solche Reihen, die für \(\sigma>\lambda\) konvergieren, als Produkt eine Fakultätenreihe liefern, die in der Halbebene konvergiert, in der gleichzeitig \(\sigma>\lambda\) und \(\sigma>0\) ist.