Sul problema piano dei tre corpi. Caso limite in cui una delle masse è infinitesima. Nota III. (Q5967805)

Unter Benutzung der früheren Arbeiten (vgl. die vorhergehenden Referate) führt Verf. an Stelle der Zeit die Größe \(\tau,\) als Koordinaten die \(\xi_\nu, \eta_\nu\) ein. Ist weiter \(q^2\) der halbe Umfang des Dreiecks der drei Körper, so werden statt der \(\xi, \eta\) sechs neue Variablen eingeführt durch \(\xi_\nu = q\cdot \alpha_\nu, \eta\cdot\beta_\nu.\) Man kann die \(\alpha, \beta\) und passend zugewählte Größen \(\gamma\) als Richtungscosinus deuten, die die Lage eines starren Körpers bestimmen. Umgekehrt kann man dann, in Anlehnung an das Frühere, sagen, das System sei bestimmt durch einen positiven Parameter \(q\) und durch die Orientierung eines hypothetischen starren Körpers. Ist \(\omega_\nu\) die zu \(\gamma_\nu\) gehörige Winkelgeschwindigkeit, so stellt Verf. die kinetische Energie \(T\) als quadratische Form der Argumente \(p = \frac {\partial T}{\partial q'}\) und \(\varOmega_\nu = \frac {\partial T}{\partial \omega_\nu}\) dar. Hervorzuheben ist die elegante Art und Weise, wie der Ausdruck für \(T\) gewonnen wird, ohne die linearen Substitutionsgleichungen im einzelnen aufzulösen. In der zweiten Mitteilung wird gezeigt, daß\ der Wert der Gesamtenergie für alle Werte der Koordinaten (auch bei Zusammenstößen) regulär bleibt. Verf. setzt die Gleichungen zunächst in die gemischte \textit{Euler}sche kanonische Form (das System ist bestimmt durch \(q\) und die drei \textit{Eulers} chen Winkel \(\vartheta, \varphi, \psi)\) und sucht die beiden Integrale auf, die dem Energie- und dem Flächensatz entsprechen. Der Zusammenhang der Winkel \(\vartheta, \varphi, \psi\) mit den geometrischen Verhältnissen des Dreiecks wird untersucht. Die Gleichungen werden sodann in die rein kanonische Form gebracht. Als Koordinaten werden gewählt: 1) \(q\) und die \textit{Euler}schen Winkel, 2) statt \(\psi\) symmetrische Koordinaten, die mit dem Überschuß\ des Halbumfangs über die Seiten des Dreiecks zusammenhängen, 3) zwei Winkelkoordinaten und zwei Längen, von denen die eine die Wurzel aus der Seite \(M_1M_2,\) die andere die Wurzel aus dem Überschuß\ des Halbumfange über die Seite \(M_1M_2\) ist. Die Einführung dieser ``asteroidischen Koordinaten'' empfiehlt sich, wenn die eine Masse \(M_0\) sehr klein ist gegen die andere \(M_1\) und \(M_2.\) Dieser Grenzfall wird in der dritten Mitteilung ausführlich behandelt. Verf. führt elliptische Koordinaten ein; er zeigt, daß\ in diesem Grenzfall das System der Differentialgleichungen in zwei zerfällt, und daß\ infolgedessen eine Reduktion auf zwei Freiheitsgrade möglich ist.