Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie. (Q5967815)

Es werde folgender Begriff zugrunde gelegt: Es sei jedem Element \(a\) eines Körpers eine reelle Zahl \(\| a\|\) zugeordnet, die folgende Bedingungen erfüllt: 1. \(\| 0\| =0; \| a\| >0,\;\text{wenn}\;a\neq 0\); 2. \(\| 2+a\| \leqq 1+\| a\|\), 3. \(\| a b\|=\| a\| \| b\|\). 4. Es gibt wenigstens ein Element \(a\) im Körper, für das \(\| a\| \neq 0\) und \(\neq 1\) ist. Ist jedem Element \(a\) das Symbol \(\| a\|\) zugeordnet, so heißt der Körper bewertet, \(\| a\|\) die Bewertung von \(a\). Der absolute Betrag ist der einfachste Fall der Bewertung. Schreibt man jede rationale Zahl \(a\) in der Form \[ a=\frac{u}{v}p^a, \] wo \(p\) eine Primzahl und \(u,v\) zu \(p\) teilerfremd sind, so führt die Bewertung \[ \| a\| e^{-a} \] (\(e\) die Basis der Exponentialfunktion) zu einer Einteilung, wie sie \textit{Hensel} für die \(p\)-adischen Zahlen autgestellt hat. Mit Hülfe der Bewertung kann man die Begriffe Limes und Fundamentalreihe für den Körper definieren, indem überall der Begriff absoluter Betrag durch den Begriff Bewertung ersetzt wird. Ein Körper heißt perfekt, wenn er die Gesamtheit der Limes der in ihm enthaltenen Fundamentalreihen enthält. Er heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jede dem Körper angehörende ganze rationale Funktion im Körper in lineare Faktoren zerfällt. Der Verf. beweist, daß jeder bewertete Körper durch Adjunktion neuer Elemente zu einem algebraisch abgeschlossenen perfekten bewerteten Körper gemacht werden kann. Um einen bewerteten Körper perfekt zu machen, kann man die \textit{ \textit{Cantor}sche Theorie der Irrationalzahlen auf den Fall der allgemeinen Bewertung übertragen. Der erweiterte Körper ist, falls die obige Bewertung \(\| a\|=e^{-a}\) der rationalen Zahlen zugrunde gelegt wird, der Hensel}sche Körper der \(p\)-adischen Zahlen. Um einen perfekten bewerteten Körper auch algebraisch abgeschlossen zu machen, werden die Resultate von \textit{Steinitz} (F. d. M. 41, 445 (JFM 41.0445.*), 1910) und \textit{Hensel}sche Beweismethoden verwandt.