Über ein gewisses Kriterium in der Fehlertheorie. (Q5967984)

(Siehe JFM 41.0267.04) Sind \(x_1,x_2,\dots ,x_n\) die unter ganz gleichen Bedingungen und mit gleicher Sorgfalt beobachteten Werte der unbekannten Größe \(x\), und ist \(\overline{x}=\frac{1}{n}\,\sum_i x_i\) das arithmetische Mittel dieser Werte, so ist bekanntlich der wahrscheinliche Fehler \(\xi_n\) von \(\overline{a}\): \[ \xi_n = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\, \frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{1}{n}\,\sum}_i (\overline{x}-x_i)^2. \] Kommt zu den obigen \(n\) Beobachtungen noch eine nene Beobachtung \(y\) hinzu, und ist der nach dieser Formel zu bestimmende Fehler \(\xi_{n+1}\) größer als \(\xi_n\), so darf bei der Berechnung des arithmetischen Mittels der Wert \(y\) als unzulässig ausgeschieden, in dem Falle \(\xi_{n+1}\leqq \xi_n\) aber behalten werden. Diese beide Kriterien kann man auch so schreiben: \[ \begin{matrix} (x-\overline{x})^2&<\frac{n+1}{n}\left(\frac{n^2-1}{n(n-2)}-1\right) \sum_i (\overline{x}-x_i)^2, \\ (y-\overline{x})^2&\leqq \frac{n+1}{n}\left(\frac{n+1}{n-1}-1\right)\sum_i (\overline{x}-x_i)^2.\end{matrix} \] \textit{Banachiewicz} macht dazu folgende Bemerkung: Die angegebenen Grenzen beruhen auf der Voraussetzung, daß eine Beobachtung ausgeschieden werden darf, wenn durch diese Ausscheidung der Wert des mittleren Fehlers \(\sqrt{\frac{\sum_i(x_i-\overline{x})^2}{n(n-1)}}\) vermindert wird. Aber, wie man leicht berechnen kann, würden dann bis 16\% der Beobachtungen einer \textit{Gauß}schen Normalreihe ausgeschieden werden müssen, und es ist auch die in der erstgenannten Arbeit erzielte Verbesserung nur scheinbar, weil die Größe \(\sqrt{\frac{\sum_i(\overline{x}-x_i)^2}{n(n-1)}}\), auf die behaltenen Werte angewandt, nicht mehr den mittleren Fehler bestimmt.