Sur les fractions continues d'interpolation. (Q5967996)

\textit{T. N. Thiele} hat den Begriff ``reziproke Differenz'' eingeführt. Man hat (vgl. \textit{Thiele}, Interpolationsrechnung. Leipzig 1909, S. 129 u. 130) die reziproken Differenzen einer Funktion dadurch definiert, daß die ersten, zweiten und dritten reziproken Differenzen usw. für die Argumente \(a, b, c, d\) durch \[ \begin{aligned} &\varrho (a,b) =\frac{a-b}{f(a)-f(b)}, \\ &\varrho (a,b,c) = \frac{a-c}{\varrho (ab)- \varrho (bc)} + f(b), \\ &\varrho (a,b,c,d) = \frac{a-d}{\varrho (abc) - \varrho (bcd)} + \varrho (bc), \end{aligned} \] usw. erklärt sind. Ähnlich wie man bei \textit{Taylors} Formel eine Reihenentwicklung für beliebige Funktionen erhält, geben die \textit{Thiele}schen reziproken Differenzen Kettenbruchentwicklungen für beliebige Funktionen. Es sind aber zwei Probleme zu lösen, ehe man praktisch die Kettenbruchentwicklung brauchen kann: eine explizite Berechnung der Zähler und Nenner der Näherungsbrüche und ein Ausdruck für das Restglied. Die Abhandlung ist der Lösung dieser beiden Aufgaben gewidmet. Die Ausdrücke, zu welchen der Verf. kommt, sind natürlich sehr zusammengesetzt, und ich muß auf das Studium der Abhandlung selbst verweisen. Der Interpolationskettenbruch von \textit{Thiele} hat die Form \[ \begin{aligned} f(B_0)+\frac{x-B_0}{a_1-\frac{x-B_1}{a_2-\frac{x-B_2}{a_3\cdots}}.}\\ -\frac{x-B_n}{a_n}\end{aligned} \] wo \(a_n = \varrho^{n+1} (B_0 - B_n) - \varrho^{n-1} (B_0- B_{n-1})\). Man findet dann das Restglied \(R_{2n+1}\) mittels der Formel: \[ \frac{1}{R_{2n+1}(x)} = \varrho^{2n} \left( \frac{f(x)-f(B_0)}{x-B_0} \right) , \] welche analog ist mit der Formel von \textit{J. L. W. V. Jensen} in den ``Oversigter'' 1894, S. 251. Der Verf. gibt verschiedene ähnliche Formeln, welche einfach aussehen, in Wirklichkeit aber ungeheuer zusammengesetzt sind. Zugleich gibt er eine Reihe von Rekursionsformeln zur Berechnung der verschiedenen \(\varrho\).