Kürzeste Wege im komplexen Gebiet. (Q5968251)

Die zweite Arbeit enthält eine ausführliche Darstellung der in der ersten (JFM 36.0614.01) nur kurz geschilderten Untersuchungen. Wir beschränken uns daher auf einen Bericht über die zweite Arbeit, der freilich auch nur einzelne Hauptpunkte hervorheben kann. Es handelt sich darum, eine solche Erweiterung der metrischen Begriffe zu entwickeln, daß die Beziehungen des Größer- und Kleinerseins, also namentlich die Probleme über Maxima und Minima auch auf komplexe Figuren anwendbar bleiben. Die analytische Fortsetzung der reellen Metrik ins komplexe Gebiet versagt in dieser Beziehung; dagegen wird das Gewünschte, wie der Verf. zeigt, geleistet, wenn man eine \textit{Hermite}sche quadratische Form \(\sum a_{\mu\nu}x_{\mu}\overline{x}_{\nu}\) mit konjugiert komplexen Veränderlichen \(x_{\mu},\overline{x}_{\nu}\), und mit konjugiert komplexen Koeffizienten \(a_{\mu\nu}a_{\nu\mu}\) benutzt, um in dem Raume \(x_1\dots x_n\) ``Hermitesche'' Maßbestimmung einzuführen, die der von \textit{Cayley} auf eine reelle quadratische Form gegründeten vollständig analog ist. Den Gedanken, eine solche Maßbestimmung einzuführen, hat allerdings \textit{Fubini} schon früher als der Verf. veröffentlicht (F. d. M. 35, 142, 1904, JFM 35.0142.02), jedoch noch nicht in vollkommener Form und namentlich ohne die wichtigste Frage zu erledigen, die nämlich, ob der Satz über die Gerade als den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten im komplexen Gebiete bestehen bleibt. Der Verf. bespricht zunächst in \S\ 1 gewisse Gruppen, die zu einer \textit{Hermite}schen quadratischen Form gehören, und bezeichnet insbesondere die Gruppe der Kollineationen und Antikollineationen, bei denen die Form invariant bleibt, als \textit{Hermite}sche Bewegungen und Umlegungen. In \S\S 2 und 3 wird die hyperbolische \textit{Hermite}sche Maßbestimmung entwickelt, zu der eine indefinite Hermitesche Form im ternären komplexen Gebiet Anlaß gibt, und es wird gezeigt, daß sie das komplexe Gebiet in zwei Teile zerlegt derart, daß je zwei Punkte des einen Gebiets eine reelle Entfernung bekommen und durch eine einzige ``Normalkette'' von \(\infty^1\) Punkten verbunden werden können, die den kürzesten Weg (das geodätische Band) zwischen beiden darstellt. \S\S 4-7 behandeln die Maßbestimmung bei einer definiten \textit{Hermite}schen Form. Hier bestimmen je zwei Punkte, die nicht in bezug auf die \textit{Hermite}sche Form konjugiert sind, ein geodätisches Band, ihre kürzeste Verbindungslinie, und dieses Band ist eine \textit{Staudt}sche Kette auf der durch beide Punkte gehenden Geraden des ternären Gebiets. Die \(\infty^4\) Punkte des komplexen ternären Gebiets bilden einen vierfach ausgedehnten elliptischen \textit{Hermite}schen Raum, in dem man verschiedene Arten von Volumenelementen betrachten kann. Insbesondere wird das Gesamtvolumen dieses Raumes \(=8\pi^2\) gefunden. Ferner untersucht der Verf. die Beziehung zwischen zwei verschiedenen Winkelbegriffen, zu denen die betrachtete Maßbestimmung führt. Endlich werden die Mannigfaltigkeiten untersucht, die aus den \(\infty^1\) durch einen ebenen Büschel von Fortschreitungsrichtungen bestimmten geodätischen Bändern bestehen. In \S\S 8 und 9 betrachtet der Verf. gewisse Konfigurationen im \textit{Hermite}schen Raume. In \S\S 10 und 11 wird gezeigt, daß der elliptische \textit{Hermite}sche Raum in gewissen gewöhnlichen elliptischen, in gewissen euklidischen und in gewissen gewöhnlichen hyperbolischen Räumen enthalten ist und also durch reelle vierfach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten repräsentiert werden kann. \S\ 12 enthält gruppentheoretische Folgerungen, namentlich über die reell verschiedenen Formen, die man der Zusammensetzung der allgemeinen projektiven Gruppe eines Raumes von \(n\) Dimensionen geben kann. \S\ 13 handelt über die konformen und die geodätischen Abbildungen in \textit{Hermite}schen Räumen, \S\ 14 über die parabolische \textit{Hermite}sche Maßbestimmung.