Sur le problème de \textit{Monge}. (Q5968292)

Gegeben ist eine Differentialgleichung der Form \[ f \left( y_1, y_2, \dots ,y_{n+1}, \;\frac{d y_2}{dy_1}\,,\;\frac{dy_3}{dy_1}\,, \dots, \frac{dy_{n+1}}{dy_1} \right)=0. \] Es handelt sich um die Aufgabe, \(y_1, \dots, y_{n+1}\) als Funktionen eines Parameters \(t\), gewisser willkürlicher Funktionen dieses Parameters und ihrer Ableitungen auszudrücken. Im Falle \(n=2\) hat \textit{Monge} die allgemeinste Lösung des Problems gegeben. Sie besteht darin, daß\ man die Gleichungen \[ V=0, \quad \frac{\varDelta V}{\varDelta \alpha} =0, \quad \frac{\varDelta^2 V}{\varDelta \alpha^2} =0 \] nimmt, wo \(V=0\) das vollständige Integral der adjungierten Gleichung \(F(x, y, z, p, q)=0\) gibt. In der vorliegenden Note wird gezeigt, daß\ schon im Falle von vier Variabeln \((n=3)\) die entsprechenden Gleichungen \[ V=0, \quad \frac{\varDelta V}{\varDelta \alpha}=0, \quad \frac{\varDelta^2 V}{\varDelta \alpha^2}=0, \quad \frac{\varDelta^3 V}{\varDelta \alpha^3} =0 \] \textit{nicht} die Grundlage zur allgemeinsten Lösung bilden. Es werden vielmehr für den allgemeinen Fall (\(n\) beliebig) \(n+1\) gewisse andere Gleichungen als notwendige und hinreichene Bedingungen aufgestellt, denen \(y_1, y_2, \dots, y_{n+1}\) zu genügen haben.