Remarques sur la courbe de \textit{von Koch}. (Q5968294)

Eine gerade Strecke \(s_0=AB\) werde in drei gleiche Teile geteilt und über der mittleren Strecke \(DE\) links von \(AB\) ein gleichseitiges Dreieck \(DEC\) errichtet. Man erhält so einen Streckenzug \(s_1=ADCEB\). Wendet man auf die vier Strecken dieses Zuges dasselbe Verfahren an wie auf \(s_0\), so gelangt man zu einem 16teiligen Zuge \(s_2\), von diesem in gleicher Weise zu \(s_3\) usf. \(\lim_{n=\infty} s_n\) wird eine Kurve ohne Tangenten, die \textit{v. Koch}sche Kurve. Die aus ihrer Entstehung sofort sich ergebende Eigenschaft dieser Kurve, nämlich die Ähnlichkeit der ganzen Kurve mit ihren Teilen, läßt, wie \textit{Cesàro} bemerkt, weitere wichtige Eigenschaften mit Leichtigkeit ableiten; so erkennt man fast unmittelbar, daß\ die Länge unendlich ist. Weiter führt die erwähnte Grundeigenschaft der Kurve zu ihrer analytischen Darstellung. Diese ergibt sich am bequemsten, wenn man die Ebene als Trägerin einer komplexen Variable \(z\) und \(z\) als Funktion einer reellen von 0 bis 1 verlaufenden Variable \(t\) betrachtet; die Variable \(z\) durchläuft dann die Kurve. Um \(z\) als Funktion von \(t\) wirklich darzustellen, wird \(t\) als dyadische Zahl geschrieben vorausgesetzt. Es ist dies dasselbe Darstellungsprinzip, dessen ich mich in der Arbeit ``Stetigkeit und Differentialquotient'' zur Bildung stetiger, nicht differenzierbarer Funktionen bedient habe, wie denn auch die \textit{v. Koch}sche Kurve im Prinzip von den daselbst durch das ``periodische Teilungsverfahren'' gewonnenen Kurven nicht wesentlich verschieden ist. Eine ähnliche Darstellung wie für die \textit{v. Koch}sche Kurve gibt \textit{Cesàro} für eine andere, die nach Art der \textit{Peano}schen ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck vollständig ausfüllt. Im Gegensatz zu dieser Kurve besitzt die \textit{v. Koch}sche keine mehrfachen Punkte und kann in Flächenstücke von beliebig kleinem Inhalt eingeschlossen werden. Beide Kurven werden miteinander verglichen, jedoch sind die auf einen Übergang von der einen zur anderen Kurvenart zielenden Betrachtungen nicht recht klar. Jedenfalls würden Aussprüche wie: On dirait que la courbe de \textit{von Koch}, par le fait d'avoir une longueur infinie entre deux quelconques de ses points, montre déjà sa tendance à occuper une aire, die nur zu leicht irrige Vorstellungen veranlassen können, besser vermieden.