Generalisation of \textit{Legendre}'s formula \[ KE'- (K-E)K' = \tfrac 12 \,\pi \] . (Q5968299)

Nach \textit{Weierstraß} (Werke \textit{1}, 118) läßt sich die \textit{Legendre}sche Relation auf die Form bringen: \[ \begin{vmatrix}\l\quad & \l\\ \displaystyle \int_{a_2}^{a_1} \prod_{s=1}^3 (x-a_s)^{- \frac 12} dx & \displaystyle \int_{a_2}^{a_1} \prod_{s=1}^3 (x-a_s)^{-\frac 12} dx \\ \displaystyle \int_{a_3}^{a_2} \prod_{s=1}^3 (x-a_s)^{-\frac 12} x dx & \displaystyle \int_{a_3}^{a_2} \prod_{s=1}^3 (x-a_s)^{-\frac 12} x dx \end{vmatrix} = 2 \pi i. \] Im Anschluß\ an eine Methode, die \textit{Elliott} zur Verallgemeinerung der \textit{Legendre}schen Relation benutzt hatte, betrachtet der Verf. die Determinanten der Ordnung \(n-1\), deren Elemente die Form \[ \int_{a_{r+1}}^{a_r} \prod_{s=1}^n (x-a_s)^{\beta_s-1} x^p dx \qquad (r=1, 2, \dots, n-1, \quad p=0, 1, \dots, n-2) \] haben, und zeigt, daß\ ihr Wert sich durch ein Produkt von Gammafunktionen ausdrücken läßt. Ebenso ist auch der Quotient einer Determinante der Ordnung \(n-r-1\) und der entsprechenden Determinante der Ordnung \(r\), deren Elemente beide Male die \textit{eben} angegebene Form haben, gleich einem Produkte von Gammafunktionen. Hieraus ergeben sich weitere Relationen, welche in Beziehung zu Formeln stehen, die \textit{Weierstraß} für hyperelliptische Integrale gegeben hat (Werke \textit{1} 127). Endlich werden ähnliche Gleichungen für Determinanten hergeleitet, deren Elemente die Form \[ \int_{a_{r+1}}^{a_{r_1}} e^{-x} \prod_{s=1}^n (x-a_s)^{\beta_s-1} dx \] haben.