Über die Grundlagen der Geometrie. (Q5968417)

In der ersten, am 8. Nov. 1901 der Göttinger Akademie vorgelegten Arbeit (siehe JFM 33.0486.02) wird eine Untersuchung skizziert, die in der zweiten ausführlich dargestellt ist. Der Verf. beabsichtigt, ähnlich wie \textit{Lie} ein System von geometrischen Axiomen aufzustellen, das auf dem Begriffe der Gruppe beruht, will aber die von \textit{Lie} vorausgesetzte Differenzierbarkeit der die Bewegungen darstellenden Funktionen vermeiden und nur geometrisch ausdrückbare Forderungen benutzen. Er führt das aus für den Fall der ebenen Geometrie. Unter Zahlenebene versteht er die gewöhnliche \textit{Euklid}ische Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensysteme. Eine doppelpunktlose, überall stetige Kurve dieser Zahlenebene nennt er eine \textit{Jordan}sche Kurve, und wenn diese geschlossen ist, so nennt er das Innere des von der Kurve begrenzten Gebiets ein \textit{Jordan}sches Gebiet. Die Ebene definiert er als ein System von Dingen (Punkten), die sich eindeutig umkehrbar auf die Punkte der Zahlenebene abbilden lassen. Mit Hülfe der \textit{Jordan}schen Gebiete in der Zahlenebene kann dann der Begriff der Umgebung eines Punktes der Ebene definiert werden, und endlich werden die Bewegungen erklärt als eindeutig umkehrbare stetige Transformationen der Bildpunkte der Zahlenebene, bei denen der Umlaufungssinn jeder \textit{Jordan}schen Kurve ungeändert bleibt. Hierzu kommen noch drei Axiome: I. Die Bewegungen bilden eine Gruppe. II. Durch die Bewegungen, die einen Punkt \(M\) in Ruhe lassen (durch die Drehungen um \(M\)), kann jeder von \(M\) verschiedene Punkt unendlich viele Lagen erhalten oder: ``Der wahre Kreis besteht aus unendlich vielen Punkten.'' III. Gibt es Bewegungen, durch welche Punktetripel in beliebiger Nähe des Punktetripels \(ABC\) in beliebige Nähe des Punktetripels \(A'B'C'\) übergeführt werden, so gibt es stets auch eine Bewegung, bei welcher das Punktetripel \(A BC\) genau in \(A'B'C'\) übergeht. Hierbei wird von einem Punktetripel \(A^{\star}B^{\star}C^{\star}\) gesagt, daß\ es in beliebiger Nähe von \(ABC\) liegt, wenn \(A^{\star}\) in einer beliebig kleinen Umgebung von \(A\) liegt usw. Es wird ferner nicht vorausgesetzt, daß\ die Punkte eines Punktetripels von einander verschieden sind. Demnach liegt in dem Axiome III, allerdings ziemlich versteckt, zugleich die Forderung, daß\ zwei verschiedene Punkte niemals durch Bewegung in beliebige Nähe zu einander geraten können. Auf Grund dieser Definitionen und Axiome gelingt es dem Verf., die Eigenschaften des wahren Kreises, die Drehungen um einen Punkt und schließlich die der wahren Geraden zu entwickeln, und er gelangt so entweder zur \textit{Euklid}ischen oder zur \textit{Lobatschefskij-Bolyai}schen Geometrie, während die elliptische von vornherein dadurch ausgeschlossen ist, daß\ sich die Punkte der elliptischen Ebene nicht in einer mit den Axiomen verträglichen Weise auf die im Endlichen gelegenen Punkte der Zahlenebene abbilden lassen.