On the theory of prime numbers (Q5968685)

Ist \(z\) eine Primzahl, so ist \(\Gamma(z)+1\) nach dem Wilson'schen Satze teilbar durch \(z\). Ist \(z\) zusammengesetzt und \(>4\), so ist \(\Gamma(z)\) durch \(z\) teilbar. Hiernach ist: \[ \frac{2^{2\pi i\frac{\Gamma(z)}z}-1}{e^{-\frac{2\pi i}s}-1}=\omega(z) \] mit 0 oder 1 identisch, je nachdem \(z\) zusammengesetzt oder Primzahl ist. Bedeutet also \(f(z)\) eine Function, welche für alle ganzen Zahlen \(z>4\) endlich ist, so gilt \[ \sum_5^n\omega(n)f(n) = \sum f(p_i), \] wo sich die Summe links auf alle ganzen Zahlen von 5 bis \(n\) erstreckt, diejenige rechts auf die Primzahlen \(p_i\) dieses Intervalls. Indem Verf. auf die links stehende Summe Dirichlet's Summationsformel einer Fourier'schen Reihe anwendet, gelangt er zur Gleichung: \[ \sum f(p_i) = \sum_{\varkappa=1}^\infty\int_a^b\omega(\xi)f(\xi)e^{2\varkappa\pi i(\xi- a)}d\xi; \] die links stehende Summe bezieht sich auf alle Primzahlen \(p_i\) zwischen den Grenzen \(a\) und \(b\), welche letzteren Zahlen zusammengesetzt sein sollen. Die Entwickelung lässt sich verallgemeinern auf Primzahlen \(p_i'\), die einer arithmetischen Reihe angehören, und gestattet einen Beweis des auf die letzteren Primzahlen bezüglichen Dirichlet'schen Theorems.