Sulle funzioni \(\sigma\) ellittiche pari. (Q5968812)

Siehe auch JFM 26.0503.01. Ist \(a_x^3=0\) die Gleichung einer allgemeinen Curve dritter Ordnung \(C_3\) und \[ u = \int_y^x \frac{(hxdx)}{a_x^2a_h} \] das zugehörige elliptische Integral erster Gattung, so hat Hr. Pick (Math. Ann., Bd. XXVIII) Ausdrücke für \(\wp(u)\) und \(\sigma(u)\) angegeben, deren Rationalitätsbereich derselbe ist, wie der der Coefficienten von \(a_x^3\). Der Verfasser stellt sich nun die Aufgabe, auch für die drei geraden \(\sigma\)-Functionen die entsprechenden Ausdrücke zu berechnen. Wie aber in der gewöhnlichen Theorie der elliptischen Functionen die Coefficienten der Entwickelung von \(\sigma(u)\) rationale Functionen der Invarianten \(g_2\) und \(g_3\) sind, während die Coefficienten der Entwickelungen für die geraden \(\sigma\)-Functionen ausserdem noch die Irrationalitäten \(e_1\), \(e_2\) und \(e_3\) enthalten, ebenso wird es hier nötig, den Rationalitätsbereich zu erweitern, und zwar geschieht dies in eleganter Weise dadurch, dass der Kegelschnittbüschel \[ a_x a_x^2 = 0 \] zu Hülfe genommen und die Gleichung der \(C_3\) in der Form \[ (\alpha\beta\gamma)^2a_x b_x c_x = 0 \] geschrieben wird; die \(e_1\), \(e_2\) und \(e_3\) werden alsdann Combinanten des Büschels. Die Formeln, die sich auf diese Weise ergeben, haben eine grosse Aehnlichkeit mit denen, die Hr. Klein in der Abhandlung: ``Zur Theorie der Abel'schen Functionen'' (Math. Ann. XXXVI) für das Geschlecht 3 entwickelt hat.