On the integral \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \varphi \frac{d\varphi}{\sqrt{1 k^2 \sin^{2} \varphi}} \] and some other integrals connected with it. (Q5969070)

Für den Wert \(\tfrac 12 K \log \frac{1}{k} - \frac{\pi}{4} K'\) des oben genannten Integrals, der gewöhnlich mittels Reihenentwickelung abgleitet wird (vgl. W. Roberts, Journ. de Math. (1) XIX, und Schlömilch, Compendium der höheren Analysis II, 2. Aufl. 1874, 313 f.), werden hier zunächst zwei neue Beweise gegeben. Die erste Ableitung benutzt einen complexen Integrationsweg und wendet elementare Formeln aus der Theorie der elliptischen Functionen an; die zweite ergiebt sich aus der Productentwickelung der elliptischen Functionen (Jacobi, Fundamente \(\S\) 36). Analog lassen sich die Integrale \[ \int_0^K \log (\text{dn\,} u) du, \;\int_0^K \log (\text{cn\,} u) du, \; \int_0^K \log (\theta\, u) du \] behandeln, und weitere Formeln ergeben sich durch Anwendung der Gleichungen für die Verdoppelung und Halbirung des Arguments der elliptischen Functionen.