Sur une formule d'arithmétique. (Q5969109)

Siehe auch JFM 20.0184.02, JFM 20.0184.03. Die Divisoren von \(p\) seien geteilt in solche, welche grösser als \(q\) und in solche, welche nicht grösser als \(q\) sind; die Anzahl der ersteren sei \(\psi(p,q)\), die Anzahl der letzteren \(\chi(p, q)\). Alsdann lautet die Formel des Herrn Lerch: \[ \sum_{\sigma=0}^{\left( \frac{m}{a} \right)} [\psi(m-\sigma a, k+\sigma-1)-\chi(m-\sigma a, a)] + \sum_{\lambda=1}^{\chi-1} [\psi(m+\lambda a, \lambda-1)-\chi(m+\lambda a, a)]=0. \] Diese Formel wird abgeleitet aus der Gleichung: \[ \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{x^{\kappa\nu}}{(1-x^{\nu})(1-x^{\alpha+\nu})}= \frac{1}{1-x^{\alpha}} \sum_{\nu=1}^{\alpha} \frac{x^{\nu}}{1-x^{\nu}}-\sum_{\lambda=1}^{\kappa-1}\;\sum_{\nu=1}^{\infty}\;\frac{x^{\lambda\nu}}{1-x^{\alpha+\nu}} \] und andererseits zu der Formel des Herrn Hermite: \[ \sum_{\alpha=0}^{n-1}\;E\left(x+\frac{\alpha}{n}\right)=E(nx) \] in Beziehung gesetzt. Zahlreiche Specialisirungen ergeben besonders Eigenschaften der \(\psi\)-Function, sowie einen Beweis eines Satzes von Catalan, wonach die Gesamtanzahl der ganzzahligen, nicht negativen Lösungen der \(n\) Gleichungen \[ kx+(x+1)y=n-k \] \[ (k=1, 2, \dots, n) \] genau gleich \(n\) ist.