On hypergeometric functions of two variables. (Q5969438)

Der Herr Verfasser hat für die Gauss'sche hygeometrische Reihe eine Verallgemeinerung gefunden, welche die wesentlichen Eigenschaften jener Reihe beibehält; dieselbe besteht in der Einführung der vier Functionen: \[ F_{1}(\alpha,\beta,\beta',\gamma,x,y)=\varSigma \frac{(\alpha,m+n)(\beta,m)(\beta',n)}{(\gamma,m+n)(1,m)(1,n)} x^{m} y^{n}, \] \[ F_{2}(\alpha,\beta,\beta',\gamma,\gamma',x,y)= \varSigma \frac{(\alpha,m+n)(\beta,m)(\beta',n)}{(\gamma,m)(\gamma',n)(1,m)(1,n)} x^{m} y^{n} \] \[ F_{3}(\alpha,\alpha',\beta,\beta',\gamma,x,y)= \varSigma \frac{(\alpha,m)(\alpha',n)(\beta,m)(\beta',n)}{(\gamma,m+n)(1,m)(1,n)} x^{m} y^{n}, \] \[ F_{4}(\alpha,\beta,\gamma,\gamma',x,y)= \varSigma \frac{(\alpha,m+n)(\beta,m+n)}{(\gamma,m)(\gamma',n)(1,m)(1,n)} x^{m} y^{n}, \] wo \((\lambda,k)= \lambda(\lambda +1)\cdots(\lambda +k-1)\), \((\lambda,0)=1\), und die Summation über \(m\) und \(n\) von Null bis Unendlich zu erstrecken ist. Die vorliegende Arbeit ist einer zusammenhängenden und ausführlichen Darstellung der Untersuchungen über diese Functionen gewidmet, deren hauptsächlichsten Resultate der Verfasser in den C. R. von 1880 t. XC. p. 296-299, 731-735, 977-980, t. XCI. p. 304-366 mitgeteilt hat; es sei daher auf die Referate in diesem Jahrbuche (1880) XII. p. 296f. (JFM 12.0296.02), sowie auf die zweite Auflage von Heine's Handbuch der Kugelfunctionen Bd. II. Zusätze p. 359f. verwiesen.