On the theory of elliptic functions. (Q5969440)

Der Herr Verfasser entwickelt zunächst eine Reihe von Relationen zwischen den Functionen \[ \sigma(u | \omega,\omega '), \sigma_{1}(u | \omega,\omega '), \sigma_{2}(u | \omega,\omega '), \sigma_{3}(u | \omega,\omega ') \] und deren partiellen Ableitungen nach \(u\), \(\omega\), \(\omega '\). Aus diesen folgt, dass jede partielle Ableitung der Function \(\sigma\) nach \(\omega\) und \(\omega '\) dargestellt werden kann in der Form: \[ F_{0}\sigma + F_{1} \frac{\delta \sigma}{\delta u} + F_{2} \frac{\delta^{2} \sigma}{\delta u^{2}} + \ldots, \] wo \(F_{0}\), \(F_{1}\), \(F_{2}\),\(\ldots\) ganze Functionen von \(\omega\), \(\omega '\), \(\eta\), \(\eta '\), \(g_{2}\), \(g_{3}\), \(u\) sind; ferner, dass jede partielle Ableitung von \(\sigma_{\lambda}\) nach \(\omega\), \(\omega '\) sich in der Form \[ F_{0}^{(\lambda)}\sigma +F_{1}^{(\lambda)} \frac{\delta^{2} \sigma_{\lambda}}{\delta u}+F_{2}^{(\lambda)} \frac{\delta^{2} \sigma_{\lambda}}{\delta u^{2}}+\cdots \] darstellen lässt, wo \(F_{0}^{(\lambda)}\), \(F_{1}^{(\lambda)}\), \(F_{2}^{(\lambda)}\), \(\ldots\) ganze Functionen von \(\omega\), \(\omega '\), \(\eta\), \(\eta '\), \(\varepsilon_{\lambda}\), \(e_{\lambda}\), \(u\) sind; drittens, dass jede partielle Ableitung von \(\sigma\) nach \(g_{2}\), \(g_{3}\) die Form \[ G_{0}\sigma + G_{1} \frac{\delta \sigma}{\delta u}+G_{2} \frac{\delta^{2} \sigma}{\delta u^2}+ \cdots \] hat, wo jedes \(G\) eine ganze Function von \(g_{2}\), \(g_{3}\), \(u\), dividirt durch eine Potenz von \(g_{2}^{3} - 27g_{3}^{2}\) ist; und endlich, dass jede partielle Ableitung von \(\sigma_{\lambda}\) nach \(e_{\lambda}\), \(\varepsilon_{\lambda}\) ein Ausdruck von der Form \[ G_{0}^{(\lambda)} \sigma +G_{1}^{(\lambda)} \frac{\delta \sigma_{\lambda}}{\delta u}+G_{2}^{(\lambda)} \frac{\delta^{2} \sigma}{\delta u^2}+ \cdots \] ist, wo die \(G^{(\lambda)}\) ganze Functionen von \(u\), \(e_{\lambda}\), \(\varepsilon_{\lambda}\) dividirt durch eine Potenz von \((e_{1}-e_{2})(e_{1}-e_{3})(e_{2}-e_{3})\) sind. Die gewonnenen Differentialgleichungen werden im zweiten Abschnitte auf die Entwickelung der Functionen \(\sigma\), \(\sigma_{\lambda}\) nach Potenzen von \(u\) angewendet.