Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumcurven. (Q5969457)

Diese Abhandlung bildet einen Auszug aus der in den Abhandlungen der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1883 erschienenen Arbeit von Nöther. Zu gleicher Zeit ist eine Arbeit von Halphen in dem Journal de l'école polytechnique vol. XXXIII. p. 1-200 erschienen, welche ganz ähnliche Resultate, wie die Arbeit von Nöther, gewinnt. Es ist hierin ein ganz bedeutender Schritt in der allgemeinen Theorie der Raumcurven vorwärts getan, und zwar basiren die Untersuchungen auf der Anwendung algebraisch- functionentheoretischer Sätze, wie solche Sätze bei den ebenen Curven ja eine so hervorragende Rolle spielen. Die gewonnenen Resultate werden dann zur Aufstellung der verschiedenen Species aller Curven bis zur siebzehnten Ordnung hin verwendet; auch noch einige allgemeine Beispiele sind angegeben. Die ganze Abhandlung zerfällt in drei Teile. Der erste Teil beginnt mit dem Restsatz, dem Specialgruppensatz und dem Riemann-Roch'schen Satz für ebene Curven, und stellt im Anschluss daran einen Restsatz für Flächen, einen Restsatz für Raumcurven und einen Specialgruppensatz für dieselben auf. An Stelle der adjungirten Curven \((n-3)^{\text{ter}}\) Ordnung bei ebenen Curven \(\lambda^{\text{ter}}\) Ordnung treten hier adjungirte Flächen \((\mu + \gamma - 4)^{\text{ter}}\) Ordnung, wenn die Raumcurve den teilweisen Schnitt zweier Flächen \(\mu^{\text{ter}}\), resp. \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung bildet. Dann wird die Raumcurve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung als Schnitt eines Kegels \(m^{\text{ter}}\) Ordnung mit einem Monoide \(n^{\text{ter}}\) Ordnung dargestellt (welche sich ausserdem nur noch in Geraden schneiden) und die Ungleichung \(n \geq \frac m2\) gefolgert. Aus dieser Darstellung ergeben sich ferner die dei Sätze: I. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine ebene Curve die Projection einer Raumcurve von der Ordnung \(m\) und dem Geschlechte \(p\) sei, ist für \(p \geq m - 2\) die, dass alle adjungirten Curven \((n-4)^{\text{ter}}\) Ordnung, welche \(h-1\) Doppelpunkte der ebenen Curve passiren, auch durch den \(h^{\text{ten}}\) Doppelpunkt hinduch gehen. Für \(p < m - 2\) herrscht keine Bedingung. (Die Doppelpunkte der ebenen Curve entsprechen scheinbaren Punkten der Raumcurve, da letztere immer ohne wirkliche Doppelpunkte vorausgesetzt wird.) II. Kann man durch \(h- \frac i2 (i+1)\) Doppelpunkte der Projectionscurve eine adjungirte Curve \(m-1-3\) legen; wenn \(m -1 -3 \overset {=} > \frac {m-1}{2} ,\) so geht dieselbe auch durch die übrigen \(\frac i2 (i+1)\) Doppelpunkte. III. Sei \[ p>mi - \frac 16 (i+1)(i + 2) (1+3) +1 +k, \text{ wo } k = 0,1,2,\ldots ,i = 1,2,\ldots , \] sein kann. Stellen dann die \(h\) Doppelpunkte der ebenen Curve für die ajungirten Curven \((m-i- 3)^{\text{ter}}\) Ordnung mehr als \(h - \frac 16 i(i + 1)(i + 2) + k\) lineare Bedingungen dar, so liegt die Raumcurve auf wenigstens \(\infty^k\) Flächen \(i^{\text{ter}}\) Ordnung. Durch eine beliebige eindeutige Transformation der Raumcurven in ebene Curven findet der Verfasser noch den Satz: Die Constantenzahl der Gesammtheit aller Raumcurven von der Ordnung \(m\) und dem Geschlecht \(p\) ist \(= 4m\) für \( m \geq \frac 34 (p + 4)\), dagegen \(\geq 4m\) für \(m < \frac 34 (p + 4).\) Der zweite Teil stellt zunächst für ebene Curven den Satz auf: Soll auf einer ebenen Curve \(f_\mu \) von der Ordnung \(\mu\) und ohne vielfache Punkte die Gruppe \(G_{\alpha \mu - \beta} (0 \leq \beta < \mu)\) von \((\alpha \mu - \beta)\) Punkten derart sein, dass unter Berücksichtigung von \(f_\mu = 0\) moglichst viele Curven von jeder beliebigen Ordnung \(\nu \geq \alpha\) hindurch gehen, so ist notwendig und genügend, dass \(G_{\alpha \mu - \beta}\) eine auf einer Geraden liegende Gruppe von \(\beta\) Punkten zum Rest hat. Dieser Satz wird dann auf Flächen übertragen und Iautet dann: Die Raumcurven \(m^{\text{ter}}\) Ordnung, welche auf einer Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung liegen sollen und das grösstmögliche Geschlecht \(\pi\) haben, müssen eine ebene Restcurve besitzen. Und zwar ist \[ \pi = \frac 12 (\beta - 1) (\beta - 2) + \frac 12 (\alpha \mu - 2 \beta ), \quad ( \mu + \alpha - 4), \] wenn die Ordnung der Restcurve \(\beta\) und die Ordnung der Fläche, welche die Raumcurve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung und die Restcurve ausschneidet, gleich \(\alpha\) ist. Nun wird die Frage aufgestellt, wann durch eine Raumcurve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung vom Geschlecht \(p\) eine Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung hindurch geht, und das Resultat gefunden, dass es noch eine lineare \(\infty^\lambda\) -Schaar von Flächen \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung giebt, wo \(\lambda\) die grösste Zahl bedeutet, welche den Ungleichungen \[ \mu m < 2 ( N_\mu ) \quad \text{und} \quad p < \mu m - (N_\mu - \lambda ), \] \[ N\mu = \frac 16 (\mu + 1)(\mu + 2)(\mu + 3) -1 \] genügt. (Giebt es keine positive Zahl \(\lambda\), so giebt es auch keine Flächen \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung). Speciell giebt es eine Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung durch die Raumcurve von der Ordnung \(m\) und dem Geschlechte \(p\), wenn \(\mu m < 2N_\mu\) und \(p \leq \mu m - N_\mu + 1,\) oder wenn \(\mu m \leq 2N\) und \(p > \mu m - N-\mu + 1\) ist. Die vorige Fragestellung führt dann unmittelbar zu der neuen: Wann geht durch eine Raumcurve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung vom Geschlecht \(p\), welche bereits auf einer Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung liegt, eine Fläche \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung \((\nu \geq \mu - 3)\) ? Auch hier ist die Antwort, dass es noch eine lineare \(\infty^\lambda\)-Schaar von Flächen \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung und im Allgemeinen keine weitere giebt, welche durch die Raumcurve \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung hindurch geht wo \(\lambda\) die grösste Zahl ist, die den Ungleichungen \[ \nu m < 2( W_{\nu , \mu} - \lambda ) \quad \text{und} \quad p > \nu m -W_{\nu , \mu} + \lambda \] genügt. Dabei bedeutet \(W_{\nu , mu}\) die Mannigfaltigkeit aller Curven \(\mu - \nu^{\text{ter}}\) Ordnung welche auf der gegebenen Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung von allen Flächen \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung ausgeschnitten werden; es ist also \[ W_{\nu , \mu} = N_{\nu} - N_{\nu - \mu} -1 = \frac 16 (\mu -1 )( \mu - 2)(\mu - 3) + \frac 12 \mu \nu (\nu - \mu + 4) . \] Es giebt speciell eine Fläche \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung durch unsere Curve, wenn \[ \nu m < 2 W_{\nu , \mu} \quad \text{und} \quad p > \nu m - W _{\nu , \mu} \] ist. Ist die letzte Ungleichung erfüllt, aber \(\nu \mu \overset {=} > 2W_{\nu , \mu}\) , so giebt es durch die auf der Flüche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung gelegene Raumcurve \(m^{\text{ter}}\) Ordnunn entweder noch eine Fläche \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung, oder die Flächen \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung schneiden die Raumcurve in Specialpunktgruppen. Aus \(\nu m \geq W_{\nu , \mu}\) ergiebt sich auch eine obere Grenze für \(\nu\). Wie schon gesagt wurde, giebt es für \(\nu m \geq 2W_{\nu, \mu}\) noch zwei Möglichkeiten, und so wird weiter untersucht, wann die eine oder andere eintritt, wann also noch eine Fläche \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung durch die Curve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung, welche sich auf einer gegebenen \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung befindet, hindurch geht, und wann nicht. Dazu kann entweder die Restmethode benutzt werden, welche die Frage für die gegebene Curve auf eine solche für eine corresiduale Curve überführt, oder die Methode des ebenen Schnittes, welche mit Hülfe des zu Anfang des zweiten Teiles gegebenen Satzes für ebene Curven die Frage entscheiden lehrt. Der Verfasser setzt nun aus einander, wie man alle irreductiblen Raumcurven \(m^{\text{ter}}\) Ordnung vom Geschlechte \(p\) erhalten kann. Man nimmt zunächst an, dass die Curve auf einer Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung liegt, und dass diese Fläche die Fläche niedrigster Ordnung ist, welche durch die Raumcurve hindurchgeht. Dann wird es noch eine Fläch \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung geben, welche die Raumcurve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung ebenfalls enthält, und welche noch eine Restcurve von der Ordnung \(m' = \mu \nu - m\) ausschneidet. Construirt man also umgoekehrt solche Restcurven von der Ordnung \(m^{\text{ter}}\) welche aus der Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung durch eine Fläche \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung ausgeschnitten werden, so erhält man die gesuchten Raumcurven \(m^{\text{ter}}\) Ordnung als Restcurven dieser Curven. Die Aufstellung solcher Restcurven \(m^{\prime\,\text{ter}}\) Ordnung erledigt sich aber nach den vorhergehenden Sätzen. Bei angenommenem \(\mu\) sind für \(\nu\) noch verschiedene Werte zu setzen, die Grenzen für \(\nu\) bestimmen sich den früheren Ungleichungen gemäss. Um alle Raumcurven \(m^{\text{ter}}\) Ordnung und vum Geschlecht \(p\) zu erhalten, muss man dem \(\mu\) nach einander die Werte \(2,3,\ldots ,\) beilegen. Der höchste Wert, den \(\mu\) annehmen kann, ist der kleinste Wert, welcher den beiden Ungleichungen \[ 2 N_\mu - m \mu > 0 \quad \text{und} \quad N_\mu - m \mu + p >0 \] zugleich Genüge leistet. Der Schluss des zweiten Teiles wird noch dazu benutzt, die Zahl der Constanten einer Raumcurve \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung vom Geschlechte \(p\) genau zu geben, oder doch für dieselbe eine genauere untere Grenze als die am Ende des vorigen Teiles gegebene Zahl \(4m\) zu finden. Dazu werden folgende Grössen definirt. \(A_\mu\) resp. \(A_\nu\) sei für eine Fläche \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung, resp. \(nu^{\text{ter}}\) Ordnung die Zahl der Bedingungen, um durch eine gegebene Raumcurve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung und vom Geschlechte \(p\) hindurch zu gehen. Ferner sei \(S_{\mu \nu}\) die Zahl der wirklichen Doppelpunkte, welche der vollständige Durchschnitt zweier Flächen \(\mu^{\text{ter}}\) und \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung aufweist, dessen einer Teil eine solche Raumcurve \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung, vom Geschlecht \(p\) ist. Endlich sei \(\sigma_{\mu , \nu}\) die Zahl der Bedingungen, damit der vollständige Durchschnitt zweier Flächen \(\mu^{\text{ter}}\) und \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung in zwei Curven mit \(S_{\mu , \nu}\) Schnittpunkten zerfalle. Dann ist \[ \sigma_{\mu , \nu} \overset {=} < S_{\mu , \nu} \] und \[ u = A_\mu + A_\nu - \sigma_{\mu , \nu} . \] Der dritte Teil giebt eine Einteilung der Curven und eine Aufzählung aller Curven bis zur siebzehnten Ordnung nach diesem Einteilungsprincip. Das Gesammtgebiet der Raumcurven von gegebener Ordnung \(m\) und gegebenem Geschlecht \(p\) bildet eine algebraische im Allgemeinen reducible Mannigfaltigkeit. Die Raumcurven, welche demselben irreductiblen Gebiete angehören, bilden eine Curvenfamilie. Ein anderes Einteilungsprincip giebt uns die Ordnungszahlen der Flachen niedrigster Ordnung, auf denen die Curven liegen können; demnach unterscheidet der Verfasser Curvenspecies. Die Species sind Unterabteilungen der Familien. Es werden dann die Aufzahlung der Raumcurven bis zur siebzehnten Ordnung vorgenommen, indem bei jeder Ordnung zunächst nach den Geschlechszahlen und dann weiter nach den Species vorgegangen wird. Zugleich wird, so weit möglich, die Zusammengehörigkeit der Species zu Familien angegeben.