On indefinite binary quadratic forms. (Q5969583)

Fortsetzung der Arbeit [Math. Ann. 15, 381--406 (1879; JFM 11.0147.01)]. Einer jeden Classe von binären quadratischen Formen von positiver Determinante entsprach eine bestimmte Reihe ganzer positiver Zahlen \[ \ldots \alpha_{-3} \; \alpha_{-2} \; \alpha_{-1}\; \alpha_0 \; \alpha_1 \; \alpha_2 \; \ldots \] und umgekehrt. Das Verhältnis zwischen \(2\sqrt{D}\) und dem Minimum dieser Formen ist gleich dem Minimum der Summe der beiden Kettenbrüche \[ \alpha_k+_{ \tfrac{1\qquad}{\alpha_{k+1} + \frac{1\qquad}{\alpha _{k+1} +_{\ddots}}}} +_{\tfrac{1\qquad}{\alpha_{k-1} + \frac{1\qquad}{\alpha_{k-2}+_{\ddots}}}} = \frac{2}{S_k} \quad (k\text{ variabel}). \] Es werden nun mehrere verschiedene Specialfälle untersucht. Der wichtigste darunter ist durch die Ungleichung bestimmt \[ S_k \overset {=} > l> \frac 23 \text{ für jedes } k. \] Für diesen Fall wird die Periode der Reihe der \(\alpha\) bestimmt, sowie das Maximum von \(\frac{2}{S_k}\). Für die Perioden, die verschiedenen Werthen von \(k\) zugehören, wird eine Tabelle aufgestellt, die sich schon im ersten Band von Bernoulli's ``Recueil pour les astronomes'' findet. Eine Anwendung wird gemacht auf die Lösung der Gleichung \[ x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz \] in ganzen und positiven Zahlen.