Ueber das bifocal-veränderliche System. (Q5969632)

Wenn in einem ebenen System \(S_1 \) zwei Punkte \(P_1\) und \(Q_1\), in einem Systeme \(S_2\) zwei Punkte \(P_2\) und \(Q_2\) beliebig gewählt sind, so kann man die Punkte \(x_1\) des einen Systems mit den Punkten \(x_2\) des anderen Systems durch die Gleichungen in Beziehung setzen \(P_1 x_1 =P_2 x_2\) und \(Q_1 x_1 =Q_2x_2\). Hierdurch sind die beiden ebenen Systeme \(S_1 \) und \(S_2\) verwandtschaftlich auf einander bezogen. Herr Burmester nennt solche Systeme bifocale Systeme, die Punkte \(P_1 Q_1\) und \(P_2 Q_2\) aber die Focalpunkte der Systeme. Eine solche Verwandtschaft zeigt Grundriss und Aufriss eines einschaligen Hyperboloids, von dem zwei Axen senkrecht zu den Projectionsebenen stehen, und andrerseits lässt sich zu zwei bifocalen Systemen \(S_1\) und \(S_2\) stets ein mit \(S_1\) ähnliches System \(S_1'\) finden, welches mit \(S_2\) als Grundriss und Aufriss eines einschaligen Hyperboloids aufgefasst werden kann, dessen Axen senkrecht gegen die Projectionsebenen gestellt sind. Aus dieser Beziehung zu einem Hyperboloid folgt, dass einer Curve \(n^{\text{ten}}\) Grades in \(S_1\) eine Curve \(2n^{\text{ten}}\) Grades in \(S_2\) entspricht, welche zur Focalgeraden symmetrisch liegt, dass also im Besonderen einer Geraden ein Kegelschnitt zugehört, dessen Axe in der Focalgeraden liegt et vice versa. Nachdem die Natur dieser Verwandtschaft nach anderen Richtungen hin verfolgt ist, wendet sich der Verfasser zu bifocal-veränderlichen Systemen. Indem die Focalpunkte \(P_1\) und \(Q_1\) ganz beliebige Bahnen beschreiben, wird das auf sie bezogene System \(S_1\) stets in biconfocaler Verwandtschaft mit seiner Anfangslage gedacht. Der Geschwindigkeitszustand der Systempunkte wird untersucht und es werden geometrische Relationen zwischen solchen Systempunkten ermittelt, deren Geschwindigkeitszustände in irgend einer Beziehung etwas Gemeinsames haben. So wird unter Anderm gefunden, dass der geometrische Ort der Systempunkte, welche parallele Geschwindigkeiten haben, eine Hyperbel und der Ort derjenigen Punkte, welche gleiche Geschwindigkeiten besitzen, eine Curve vierten Grades ist, dass die Punkte, deren Bahnelemente nach demselben Punkt convergiren, auf einer cyklischen Curve dritten Grades, die Punkte aber, für welche die Normalen der Bahnelemente durch einen festen Punkt gehen, auf einem Kegelschnitt gelegen sind, etc.