Auflösung der Gleichungen fünften Grades. (Q5969642)

Herr Kiepert legt seinen Untersuchungen (siehe auch JFM 10.0073.01, JFM 10.0073.02) die Formeln des Herrn Weierstrass (Vgl. Borchardt J. 76, 21-33, siehe F. d. M. V. 259, JFM 05.0259.01) zu Grunde und behandelt mit Hülfe derselben die Jacobi'sche Gleichung ``mit \(a\) gleich Null'', welche dann lautet: \[ (1) \quad f^{12} +10bf^6 +4cf^2 +5b^2 =0 \] Setzt man in \[ [\wp'(u)]^2= 4\wp^3u - g_2\wp u -g_3, \, \varDelta=g_2^3 =27g_3^2, \, h=e^{\frac{\omega'\pi i}{\omega}} \] für \[ g_2=-\frac{c}{3b^2}, \, 27g_3^2=\frac{-c^3-27b^5} {27b^6}, \] so erhält man \[ f= \frac{1}{p^{(\frac{2\omega}{5})}-p^{(\frac{4\omega}{5})}}= h^{\frac 13} \varDelta^{-\frac 16} \surd 5\;\prod_{\nu=1}^{\infty} \;\frac{1-h^{10\nu}}{1-h^{2\nu}}. \] \[ f_r = \varepsilon^r h^{-\frac{1}{15}} \varDelta^{-\frac16} \;\prod_{\nu=1}^{\infty}\;\frac{1-h^{\frac{2\nu}{5}} \dot \varepsilon^{24r\nu}}{1-h^{2\nu}}\;\begin{pmatrix} \varepsilon=e^{\frac{2\pi i}{5}} \\ r=0,1,\dots4 \end{pmatrix}, \] als Wurzeln von (1). Aus dieser Form kann man die bekannten linearen Relationen unter den Wurzeln ableiten. Diejenigen Functionen \(f,\, f',\, f'';\, \varphi,\, \varphi', \,\varphi''\), welche den Brioschi'schen \(\surd z, \,\surd z', \,\surd z''\); \(\surd\zeta,\, \surd\zeta',\, \surd\zeta''\) entsprechen (Vgl. d. vorige Referat pag. 69 (JFM 10.0066.01) werden hier für \(a=0\): \[ f'=\frac 12 (\varDelta f^5-5f^{-1}), \quad f''=\frac 12(\varDelta f^9+9f^2); \] \[ \varphi=\frac 12(\varDelta f^5+5f_{-5}), \quad \varphi'=f^3, \quad \varphi'' =\frac 12(\varDelta f^7+7f). \] Mit Hilfe von (1) kann man dann nachweisen, dass alle rationalen ungraden Functionen von \(f\) linear durch diese sechs darstellbar sind. Durch die, den Formeln (4) des vorigen Referats entsprechenden, bei denen, wie Herr Kiepert bemerkt, auch rational \[ y_r= \frac{\sqrt{-(\varepsilon^2+\varepsilon^3)}}{\root 4 \of 5} (f^2-f_r^2)(f_{r+4}-f_{r+1}) \] gesetzt werden kann, erhält man die Gleichung, welche Herr Brioschi benutzt: \[ \text{(2)} \quad \varDelta^3y^5 +10\varDelta^2y^3 +45\varDelta y -216g_3=0. \] Es kann die allgemeine Gleichung fünften Grades mittels einer quadratischen Gleichung auf \[ \text{(3)} \quad z^5 +5lz^2 -5mz +n =0 \] und (2) durch die von Herrn Gordan angegebene Substitution \(z= -\frac{\alpha+\beta y}{3+\varDelta y^2}\) auf dieselbe Form gebracht werden. \(\alpha\) hängt dabei von einer Gleichung zweiten Grades ab, deren Discriminante aber mit derjenigen der ursprünglichen Gleichung zusammenhängt, so dass keine neue Irrationalität durch \(\alpha, \beta\) eingeführt wird. Bestimmt man aus den hierbei festgelgten Werthen von \(g_2, g_3\) die Grösse \(h\), so geben die obigen Formeln \(f, f_r\), hierauf \(y_r\) und endlich rückwärts die \(z\). Am Schlusse der Arbeit ist das gesammte Rechnungsverfaher kurz zusammengestellt. Herr Brioschi giebt in seiner Note (JFM 10.0073.03) einige Formeln, welche seine Gleichungen in die des Herrn Kiepert überführen.