Ueber das Pfaff'sche Problem. (Q5969720)

In der Abhandlung ``Ueber totale und partielle Differentialgleichungen'' (Borchardt J. LVIII.) hat Herr Natani zuerst die Lösung des Pfaff'schen Problems auf die succesive Integration unvollständiger aber integrabeler Systeme totaler Differentialgleichungen zurückgeührt, derart, dass von jedem System nur je eine Lösung erforderlich ist. Nach ihm hat Clebsch in zwei im LX. und LXI. Bande des Borchardt J. erchienenen Abhandlungen die Lösung desselben Problems durch die Auffindung je eines Integrals simultaner partieller Differentialgleichungen, welche nacheinander aufgestellt werden, bewerkstelligt. In der vorliegenden Abhandlung wird die fragliche Lösung in einer Darstellung gegeben, welche auf directen Wege zu den von Natani wie von Clebsch gefunden Resultaten führt. Zum Ausgangspunkt wird folgender Satz genommen. Es bestehe die Gleichung \[ X_1\delta x_1+\cdots+ X_n\delta x_n =U_1\delta u_1+\cdots+ U_s\delta u_s, \] wo \[ X_1\ldots X_n,\quad U_1\ldots U_n,\quad u_1\ldots u_n \] Functionen von \(x\) bedeuten, so hat dieselbe stets die \(n\) Identitäten zur Folge: \[ \sum_{k=1}^{k=n}\left(\frac{\partial X_i}{\partial x_k}- \frac{\partial X_k}{\partial x_i}\right)\delta x_k= X_i\frac{\partial U_s}{U_s}+U_s\sum_{\lambda=1}^{\lambda=s-1} \frac{\partial u_{\lambda}}{\partial x_i}\delta \left(\frac{U_\lambda}{U_s}\right)-\sum_{\lambda=1}^{\lambda=s} \frac{\partial U_{\lambda}}{\partial x_i}\delta u_{\lambda}, \] \[ i=1,2\ldots n. \] Aus diesen ergeben sich unmittelbar die zur Lösung des Pfaff'schen Problems nach einander aufzustellenden Systeme integrabler Differentialgleichungen. Es werden nach einander behandelt 1) der Fall einer graden Anzahl der \(x\) unter der Voraussetzung, dass die Determinante der Grössen \[ (ik)=\frac{\partial X_i}{\partial x_k}-\frac{\partial X_k}{\partial x_i} \] nicht verschwindet; 2) der allgemeinere Fall, in welchen der vorhergehende als besonderer Fall enthalten ist, und den Clebsch den ``determinirten Fall'' des Pfaff'schen Problems nennt; 3) der Fall einer ungraden Anzahl der \(x\) unter der Voraussetzung, dass die Determinante \[ \left|\;\begin{matrix}\l\quad & \l\\ (11)\cdots(1n),&-X_1\\ \hdotsfor2\\ (u1)\cdots(nu),&-X_n\\ X_1\cdots X_n,&0 \end{matrix}\;\right| \] von Null verschieden ist. Zum Schluss folgt eine Anwendung auf die Integration der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung \[ \varphi(z,x_1\ldots x_n, p_1\ldots p_n)=a, \left(p_k=\frac{\partial z}{\partial x_k}\right), \] oder auf die Aufgabe der Transformation \[ \delta z-p_1\delta x_1-\cdots-p_n\delta x_n=U_1\delta u_1+\cdots+U_{n+1}\delta u_{n+1} \] mit der Bestimmung, dass \(u_1\) die gegebene Function \(\varphi\) sei.