Notiz zu dem Aufsatz über ein dreifach orthogonales Flächensystem etc. (Q5969852)

Die hier behandelten Flächen (JFM 08.0623.01) gehören zur Klasse der Cycliden mit drei Hauptebenen. Ihre Gleichung hat die Form \[ (x^2+y^2+z^2)+Ax^2+By^2+Cz^2=D^2, \] und man erhält, wenn man den Parameter \(\lambda\) durch die Relationen \[ A=\frac{a\lambda-4D^2}{\lambda+a},\quad B=\frac{b\lambda-4D^2}{\lambda+b},\quad C=\frac{c\lambda-4D^2}{\lambda+c} \] einführt, wo \(a,\;b,\;c\) Constante bedeuten, eine in \(\lambda\) cubische Gleichung, deren drei Wurzeln \(\lambda,\lambda',\lambda''\), Constanten gleich gesetzt, die Schaaren eines dreifach orthgonalen Flächensystems ergeben. Mit Hülfe der bekannten Lamé'schen Relationen werden dann folgende Aufgaben direct auf ultraelliptische Integrale resp. Functionen zurückgeführt: 1) die conforme Abbildung einer Fläche der Schaar auf eine Ebene, 2) die Rectification der Krümmungslinien, 3) die Complanation einer Fläche der Schaar. Diese Resultate sind, wie in der ``Notiz'' erwähnt wird, grösstentheils bereits früher von Darboux und Tissérand, jedoch von ganz anderen Gesichtspunkten aus, behandelt worden. Neu dagegen ist die Transformation der Potentialgleichung, welche man erhält, wenn man statt \(x,\;y,\;z\) die Wurzeln \(\lambda\) jener cubischen Gleichung als krummlinige Coordinaten einführt. Die so gefundene Transformation lässt nämlich erkennen, dass man sofort eine Particularlösung der Potentialgleichung \(\Delta V=0\) erhält, wenn man setzt \[ V=N^{\frac 14}F(\lambda)\;F_1(\lambda')\;F_2(\lambda''), \] wo \(N\) einen vollständig bekannten und symmetrisch aus den drei \(\lambda\) gebildeten Ausdruck bedeutet, während die drei Functionen \(F\) einer und derselben gewöhnlichen Differentialgleichung mit zwei willkürlichen Parametern \(C\) und \(C'\) \[ f(\lambda)\frac{d^2F}{d\lambda^2}+\frac 12 f'(\lambda)\frac{dF}{d\lambda}+\frac{1}{16}(5\lambda^3+a\lambda^2+C\lambda+C')F=0 \] genügen, wo \[ f(\lambda)=(\lambda+a)(\lambda+b)(\lambda+c)(\lambda^2+4D^2), \] \[ \alpha=3(a+b+c). \]