On the principle of the arithmetic mean. (Q5969872)

Der hier gegebene Beweis des Satzes vom arithmetischen Mittel aus einer Reihe von \(n\) gleich genauen Messungen \(a_1 \ldots a_n\) einer und derselben Grösse stützt sich auf folgende Sätze. 1) Die Function \(F(a_1 \ldots a_n)\) der \(n\) Grössen, welche den plausibelsten Mittelwerth aus den \(n\) Messungen liefert, muss stets denselben Betrag ergeben, welche Maasseinheit man auch zu Grunde lege; daraus folgt die Bedingung \[ a_1 \frac {\partial F} {\partial a_1} + \ldots a_n \frac {\partial F} {\partial a_n} = F . \] 2) Denkt man sich \(F\) und die \(a\) als Abscissen von Punkten einer Geraden, so muss die Lage von \(F\) unabhängig sein von der Wahl des Nullpunktes; daraus folgt unter Anwendung des Taylor'schen Lehrsatzes \[ \frac {\partial F} {\partial a_1} + \ldots + \frac {\partial F} {\partial a_n} = 1 . \] 3) Man muss stets dieselbe Aenderung von \(F\) erhalten, welche der Grössen \(a_1 \ldots a_n\) man auch um eine beliebig kleine Grösse variiren lässt; daraus folgt man \[ \frac {\partial F} {\partial a_1} = \frac {\partial F} {\partial a_2} = \ldots = \frac {\partial F} {\partial a_n}. \] Diese drei Bedingungsgleichungen führen dann offenbar sofort zu dem Satze, dass \(F\) das arithmetische Mittel der \(a\) ist.