Derivata \(m^{\text{ma}}\) di \(x^p\cdot f(x)\), \(x^p\,\log\,x\); conseguenti identità cui soddisfano la somma \[ \frac{1}{p}+\frac{1}{p-1}+\dots +\frac{1}{p-m+1} \] ed il prodotto \(p(p-1)\cdots(p-q+1)\). (Q5971546)

Für die \(m\)-te Ableitung von \(x^p\,\log\, x\) gibt E. Cesàro die durch vollständige Induktion leicht zu bestätigende Formel \[ p(p-1)\dots (p-m+1)x^{p-m}\biggl(\log\,x+\frac{1}{p}+\frac{1}{p-1}+\dots +\frac{1}{p-m+1}\biggr) \] an. Man kann diese Ableitung aber auch nach der Leibnizschen Formel berechnen. Vergleicht man die beiden Ergebnisse, so erhält man folgende Formel \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill {p\choose m} \biggl(\frac{1}{p}+\frac{1}{p-1}+\dots +\frac{1}{p-m+1}\biggr)=\textstyle \sum\limits_{r=1}^{m}(-1)^{r+1}\dfrac{1}{r}\displaystyle {p\choose m-r}.\hfill} \] Hieraus läßt sich für die Summe links in der Klammer ein Ausdruck mit Binomialkoeffizienten finden (der aber ebensoviel Glieder enthält). Für \(p = m\) ergibt sich eine Formel, die sich bereits bei \textit{L. Saalschütz}, Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen (1892; F. d. M. 24, 236), S. 104, Anm. 1, findet. Schafft man in (*) die Nenner weg und vergleicht die Koeffizienten bei den Potenzen von \(p\), so erhält man Beziehungen zwischen den Zahlen \(S_{r,s}\), womit die \(s\)-te symmetrische Grundfunktion der Zahlen 1, 2,\dots, \(r\) bezeichnet wird.