On a special functional equation. (Q5971593)

Die reelle Funktion \(f (z)\) der reellen Veränderlichen \(z \geqq 0\) sei in jedem endlichen Intervall beschränkt, aber nicht notwendig stetig, und genüge der Funktionalgleichung \(\dfrac {f(z+\omega ) - f(z) }{\omega} = f(qz)\) (wo \(\omega\) reell \(\not = 0\) und \(0 < q < 1\) ist). Verf. beweist dann für \(z \to \infty\): \[ f(z)= O\left( \frac {q^{\frac 12 n(n-1)}z^n}{n!} \right), \] wo \(n\) die durch \(q^{-(n-1)}n\leqq z < q^{-n} (n + 1)\) bestimmte ganze Zahl ist. Diese Ungleichung kann zu \[ f(z) = \frac {q^{\frac 12 n(n-1)}z^n}{n!} e^{O(1)} \] verschärft werden, falls eine positive Konstante \(C\) existiert, derart, daß \(f(z)>C\) ist für jedes hinreichend große \(z\). Als Anwendung beweist Verf. für die in der Entwicklung \[ \prod_{h=0}^\infty (1-z^{r^h} )^{-1} = \sum_{h=0}^\infty C_h z^h \] (\(r\) ganz \(\geqq 2\)) auftretenden Koeffizienten \(C_h\) die Formel log \( C_h \sim \dfrac {(\log \, h)^2}{2\log \, r}\).