Sur les sommes d'arcs. (Q5971601)

Die im folgenden betrachteten \textit{Kontinuen} \(\mathfrak C\) sind stets als metrisierbar und kompakt angenommen. Unter \textit{Bogensumme} bzw. \textit{endlicher} Bogensumme wird ein Kontinuum verstanden, welches darstellbar ist als Vereinigung abzählbar bzw. endlich vieler Bogen (d.~h. topologischer Bilder abgeschlossener Strecken). Eine Bogensumme heißt \textit{erblich}, wenn jedes Teilkontinuum ebenfalls Bogensumme ist. Es wird (unter anderem) gezeigt: 1) Jede Bogensumme ist darstellbar als Vereinigung abzählbar vieler Bogen, welche paarweise höchstens Endpunkte gemeinsam haben. -2) Ein Kontinuum \(\mathfrak C\) ist erbliche Bogensumme dann und nur dann, wenn die Menge der nicht lokal zerlegenden Punkte von \(\mathfrak C\) abzählbar ist. (\textit{O. G. Harrold}, \textit{jr}., Duke math. J. 5 (1939), 111-117 (F. d. M. 65, 884 (JFM 65.0884.*)) hat diese Charakterisierung nur für den Fall lokal zusammenhängender Kontinua gegeben.) Beispiele erblicher Bogensummen sind die (euklidischen) Kontinua von endlicher Relativordnung und, allgemeiner, die Kontinua von \textit{Čech} (Fundam. math. Warszawa, 18 (1932), 85-87; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 642), ferner die (euklidischen) Kontinua, deren Kontingent überall, bis auf abzählbar viele Ausnahmepunkte, nichtzusammenhängend ist. -- 3) Nicht jede endliche Bogensumme ist erblich. Beispiele endlicher und zugleich erblicher Bogensummen sind die Čechschen Kontinua von beschränkter Ordnung. -- 4) Eine Bogensumme \(\mathfrak C\) ist dann und nur dann bogenverknüpft, wenn eine ``Linfield-Darstellung'' \(\mathfrak S\) von \(\mathfrak C\) zusammenhängend ist (dabei wird \(\mathfrak S\) folgendermaßen definiert: Ist \(\mathfrak C = \sum \mathfrak B_\nu\), wo \(\mathfrak B_\nu\) Bogen sind, so ist \(\mathfrak B_\nu\) Punkt des Raumes \(\mathfrak S\), und als zu \(\mathfrak B_\nu\) benachbart (konjugiert) gelten genau alle \(\mathfrak B_\mu\) mit \(\mathfrak B_\nu\mathfrak B_\mu\neq 0\)). -5) Ein Kontinuum \(\mathfrak C\) ist gewöhnliche Kurve dann und nur dann, wenn eine natürliche Zahl \(n_0\) existiert derart, daß \(\mathfrak C\) zerlegt wird durch Wegnahme von \(n_0\) verschiedenen, im übrigen beliebigen Punkten von \(\mathfrak C\) (gewöhnliche Kurve \(=\) zusammenhängende Vereinigung endlich vieler Bogen, die paarweise höchstens endlich viele Punkte gemeinsam haben).