The pressure in the interior of a star. (Q5971826)

Verf. knüpft an eine Note gleichen Titels von \textit{E.~A.~Milne} (Monthly Not. astron. Soc. London 96 (1936), 179-184; F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 989) mit der Bedingung hydrostatischen Gleichgewichts \[ \frac{dP}{dr}=-G\cdot\frac{M(r)}{r^2}\varrho \] an (\(P\) Druck; \(G\) Gravitationskonstante; \(r\) Abstand vom Zentrum; \(\varrho\) Dichte). Die Resultate \textit{Milne}s sind einerseits Abnahme des Druckes nach außen unabhängig von \(\varrho\), zweitens bei der Annahme \(\varrho(r)< \overline\varrho(r)\) (letzteres mittlere Dichte innerhalb \(r\)) Abnahme der Größe \[ P+\frac3{8\pi}G\frac{M^2(r)}{r^2} \] nach außen. Ist \(P_c\) der Druck im Zentrum, \(P_1\) der Druck an der Oberfläche (\(r=R\)), so folgt \(P_c>P_1+\dfrac3{8\pi}\dfrac{GM^2}{R^2}\), und \(P_c>\dfrac3{8\pi}\dfrac{GM^2}{R^4}\) ist dann der minimale Druck im Zentrum. Verf. meint, daß bisweilen im Gegenteil eine obere Grenze des Druckes festzustellen sei, und leitet diesbezüglich die vollständigere Formel (Theorem~I) ab: \[ \tfrac12G\left(\tfrac43\pi\right)^{\frac13}\overline\varrho^{\frac43}M^{\frac23}< P_c-P< \tfrac12G\left(\tfrac43\pi\right)^{\frac13}\varrho_c^{\frac43}M^{\frac23} \tag{1} \] (\(\overline\varrho\) mittlere Dichte innerhalb \(r\); \(\varrho_c\) Dichte im Zentrum). Fernerhin sucht Verf. auch die Integralformeln \textit{Milne}s (loc. cit.) zu verallgemeinern. Er findet das Theorem~II: Wenn \[ J_\nu=\int\limits_0^R\frac{GMdM}{r^\nu}\qquad(\nu<6), \] dann ist ebenso \[ \frac3{6-\nu}\frac{GM^2}{R^\nu}<J_\nu<\frac3{6-\nu}\frac{GM^2}{\xi^\nu} \] (\(\xi\) definiert durch \(\frac43\pi\xi^3\varrho_c=M\)). Die besonderen Fälle \(\nu=1\) und \(\nu=2\) werden hervorgehoben als kennzeichnend einerseits für Potentialenergie \(\varOmega\), andererseits für die mittlere Gravitation \(\overline g\) im betrachteten Körper.