The class-number of binary quadratic forms. (Q5971989)

Sei \(h(d)\) die Klassenzahl der primitiven binären quadratischen Formen der negativen Diskriminante \(-d\), ferner \(\pi (x;k,l)\) die Anzahl der Primzahlen \(p \leq x\) mit \(p \equiv l (\mod k).\) In einer früheren Arbeit (Indian Phys. Math. Journ. 5 (1934); F. d. M. \(61_{\text{II}}\)) hatte Verf. bewiesen: \[ \lim _{\overset k \rightarrow \infty {(k,l) = 1}} \frac {\pi (x;k,l)}{\frac {1}{\varphi (k)} \frac {x}{\log x}} = 1 \text{ für} \;x \geq e^{k^m} \text{ mit} \;m > \frac {1}{2}, \tag{I} \] und hatte angedeutet, wie man mit dem hierbei benutzten Schluß verfahren unter Hinzunahme transzendenter auf \textit{Gronwall} und \textit{Landau} zurückgehender Methoden beweisen kann: (II) Wenn (I) für \(m < \frac {1}{2} \) gilt, so gilt \(h(d) > d^{\frac {1}{2} - m - \varepsilon }\) für jedes \(\varepsilon > 0\) und jedes \(d > d_0(m,\varepsilon ).\) Verf. gibt hier einen direkten mit elementaren Schlüssen vorgehenden Beweis für (II) und sogar für die folgende etwas schärfere Tatsache: (III) Wenn eine positive Konstante \(c\) derart existiert, daß {} \[ \pi (x;k,l) > \frac {c}{\varphi (k)} \frac {x}{\log x} \text{ für} \;x\geq e^{k^m} \text{ mit}\;0 < m < \frac 12,\;k \geq k_0(m), \;(k,l) = 1 \] gilt, so gilt \[ h(d) > d^{\frac {1}{2} -m-\varepsilon } \text{ für jedes } \;\varepsilon > 0 \text{ und jedes}\;d > d_0(m,\varepsilon ). \] Da unter Annahme der verallgemeinerten \textit{Riemanns}chen Vermutung nach \textit{Titchmarsh} gilt: \[ \lim _{\overset k \rightarrow \infty {(k,l) = 1}} \frac {\pi (x;k,l)}{\frac {1}{\varphi (k)} \frac {x}{\log x}} = 1 \text{ für} \;x \geq k^3, \] so ergibt sich unter derselben Annahme sofort: \[ h(d) > d^{\frac {1}{2} - \varepsilon } \text{ für jedes} \;\varepsilon > 0 \text{ und jedes}\;d > d_0(\varepsilon ). \] Das ist als Spezialfall in Resultaten von \textit{Gronwall, Hecke} und \textit{Landua} enthalten.