On a special class of polynomials. (Q5972046)

Es bedeute: Automorphismus eine isomorphe Abbildung auf sich; Meromorphismus eine isomorphe Abbildung in sich (auf einen Teilbereich); Homomorphismus eine homomorphe Abbildung in sich. Für einen beliebigen Körper \(K\) von Primzahlcharakteristik \(p\), dessen allgemeines Element mit \(x\) bezeichnet sei, hat man die Meromorphismen \[ y^\nu = \left (x \rightarrow x^{p^\nu }\right )\;(\nu = 0,1,2,\ldots ). \] Faßt man diese speziell als Meromorphismen der Additionsgruppe \(K^+\) von \(K\) auf und nimmt die Automorphismen \(a = (x \rightarrow ax)\) dieser Gruppe \(K^+\) hinzu, die den sämtlichen Elementen \(a \neq 0\) aus \(K\) entsprechen, sowie den für \(a = 0\) resultierenden Homomorphismus, so ergibt sich bei der üblichen Definition von Addition und Multiplikation von Homomorphismen (durch Addition der Bilder bzw. Nacheinanderausführung) ein Homomorphismenring \(H\) von \(K^+\). Dessen Elemente werden durch die formalen Polynome \(f(y)\) über \(L\) repräsentiert, mit der Wirkung \[ f(y) = (x \rightarrow F(x)), \] wo \(F(x) = a_0 x^{p^n} + a_1 x^{p^{n-1}} + \ldots + a_n,\) wenn \( f(y) = a_0y^n + a_1y^{n-1} + \ldots + a_n,\) und mit der gewöhnlichen Addition sowie der Multiplikation nach den Schema \[ (f \times g)(y) = \left (x \rightarrow F(G(x))\right ). \] Verf. nennt die Elemente dieses Homomorphismenrings \(H p\)-Polynome über \(K\). \(H\) erweist sich als nullteilerfrei, besitzt ferner stets einen euklidischen Algorithmus für Rechtsdivision, dagegen für Linksdivison nur, falls \(K\) vollkommen ist. Die Polynome \(F(x)\) sind auch dadurch charakterisierbar, daß ihre in gewöhnlichem Sinne verstandenen \(p^n\) Wurzeln, also gewisse über \(K\) algebraische Elemente, einen Modul vom Rang \(n\) über dem Primkörper zu \(p\) bilden. Jedem solchen Modul entspricht wirklich ein \(p\)-Polynom. Mithilfe dieses Zusammenhangs werden gewisse Determinanten- und Produktformeln über endliche Körper von \textit{Mooer, Mathieu} und \textit{Dickson} neu bewiesen oder verallgemeinert. Insbesondere ergibt sich ein neuer vereifachter Beweis für den \textit{Dicksons}chen Satz über das vollständige Invariantensystem der linearen Gruppe mod \(p\). Die Invarianten stellen sich als die Koeffizienten eines gewissen \(p\)-Polynoms heraus. Ferner entwickelt Verf. die formale Analogie zur Theorie der Differentialpolynome. Insbesondere entspricht der \textit{Picard-Vessiots}chen Rationalitätsgruppe eine Darstellung der \textit{Galois}gruppe des in gewöhnlichem Sinne verstandenen Polynoms \(F(x)\) durch Matrizen im Primkörper zu \(p\). Der Reduzibilität dieser Darstellung entspricht die Zerlegbarkeit von \(F(x)\) als \(p\)-Polynom. Die hauptsächlichsten Anwendungen der Theorie sollen in einer weiteren Arbeit folgen.