Sui sistemi di infinite equazioni differenziali lineari con infinite funzioni incognite. (Q5972089)

Diese reichhaltige Abhandlung zerfällt in drei Ableitungen. In der ersten Abteilung werden Differentialsysteme der Form \[ \frac {d}{dx}\left ( \sum \limits _{1}^{\infty }a_{hk}\frac {du_k}{dx}\right ) =\sum \limits _{k=1}^{\infty }b_{hk}u_k \quad (h=1, 2, \dots ) \tag{1} \] betrachtet, wo die von den für \(a\leqq x\leqq b\) definierten Funktionen \(a_{hk}, b_{hk}\) einer reellen Veränderlichen \(x\) gebildeten Matrizen bestimmten Bedingungen genügen müssen. Ein ``Integralsystem'' von (1) ist eine Folge von Funktionen \(u_1, u_2, \dots \), welche ebenfalls gewissen Stetigkeits- und Konvergenzbedingungen unterworfen sind und die Gleichungen (1) fast überall erfüllen. Die Methode der sukzessiven Annäherungen führt zur Bildung einer Matrix \((u_{hk})\), deren jede Vertikalreihe ein den Anfangsbedingungen \[ u_{hk}(a)=0, \quad u_{hk}'(a)=\begin{cases} 1 \quad \text{für} \quad h=k\\ 0 \quad \text{für} \quad h\neq k \end{cases} \] genügendes Integralsystem liefert. Diese Integralsysteme sind ``linear unäbhangig'' und bilden eine ``Fundamentalfolge von Integralsystemen''; jede andere Fundamentalfolge mit denselben Abfangsbedingungen ist eine ``lineare Kombination'' derselben. Ein System (1) heißt ``selbstandjungiert'', wenn die Matrizen \((a_{hk})\) und \((b_{hk})\) symmetrisch sind; die Untersuchung der selbstandjungierten Systeme bildet den Gegenstand der zweiten Ableitung. Für solche Systeme stellt Verf. einen ``Vergleichungs\-satz'' auf, der gewissermaßen als eine Verallgemeinerung der wohlbekannten \textit{Sturm}\-schen Sätze gelten darf. In der dritten Abteilung werden selbstandjungierte Differentialsysteme betrachtet, für welche \[ b_{hk}\geqq p_{hk}-\lambda q_{hk} \] ist, wo \(\lambda \) einen Parameter bezeichnet. Die Werte von \(\lambda _x\), für welche ein in \(a\) und \(b\) verschwindendes Integralsystem nicht existiert, sind die ``Eigenwerte'' des Systems; sie existieren, sind reell und von Null verschieden und sind die Nullpunkte einer ganzen transzendenten Funktion. (IV 10. )