Topological type of the group of uniform homeomorphisms of the real line (Q627705)

Les AA. s'occupent de la classification topologique de certains sous-groupes du groupe \(\mathcal H(\mathbb R)\) du groupe des homéomorphismes de la droite réelle, muni de la topologie définie par la distance de la convergence uniforme (distance qui peut prendre la valeur \(+\infty\)). Soit \(\mathcal H^u(\mathbb R)\) le sous-groupe de \(\mathcal H(\mathbb R)\) formé des homéomorphimes \(h\) tels que \(h\) et \(h^{-1}\) soient uniformément continus, et soit \(\mathcal H^u(\mathbb R)_0\) la composante connexe de l'identité de \(\mathcal H^u(\mathbb R)\). Les AA. montrent que \(\mathcal H^u(\mathbb R)\) est homéomorphe à \(\ell^\infty\) et \(\mathcal H^u(\mathbb R)\) homéomorphe à \(\ell^\infty\times2^{\aleph_0}\), où \(\ell^\infty\) est l'espace des suites bornées de réels avec la norme sup, et \(2^{\aleph_0}\) est un espace discret de cardinal \(2^{\aleph_0}\). Soit \(\mathcal H_\infty(\mathbb R)\) le sous-groupe de \(\mathcal H^u(\mathbb R)_0\) formé des homéomorphisme \(h\) tels que \(\lim_{|x|\to\infty}(h(x)-x)=0\), et soit \(\mathcal H_c(\mathbb R)\) le sous-groupe de \(\mathcal H_\infty(\mathbb R)\) formé des homéomorphismes à support compact. Notant \(\ell^2\) l'espace de Hilbert séparable et \(\ell^2_f\) le sous-espace de \(\ell^2\) engendré par la base hilbertienne canonique, les AA. montrent que le triplet \((\mathcal H^u(\mathbb R)_0,\mathcal H_\infty(\mathbb R),\mathcal H_c(\mathbb R))\) est homéomorphe à \((\ell^\infty\times\ell^2\times\ell^2,\{0\}\times\ell^2\times \ell^2,\{0\}\times\ell^2\times\ell^2_f)\).