On the irrationality of factorial series. III (Q633037)

Die Verff. setzen ihre in [Acta Arith. 118, 383--401 (2005; Zbl 1088.11054)] bzw. [J. Number Theory 130, 595--607 (2010; Zbl 1222.11092)] begonnenen Untersuchungen über die Irrationalität von Reihen der Form \(\sum_{n=1}^\infty a_n/n!\) fort. Genauer betrachten sie hier den Fall \(a_n=n^{v_n}\) mit ganzen \(v_n\geq0\), die für jedes \(n\gg1\) \textit{entweder} der Bedingung \(v_n\leq (1+\varepsilon_n)(\log n)/(\log\log n)\) mit \(\varepsilon_n:=(\log\log\log n)/(\log\log n)\) genügen \textit{oder} \(v_n<\sqrt{2n/3}\), dann allerdings bei nicht fallender Folge \((v_n)\). Insbesondere enthält dies die Irrationalität der Reihe \(\sum n^{\omega(n)}/n!\), wobei \(\omega(n)\) die Anzahl der verschiedenen \(n\) teilenden Primzahlen ist. Unter schärferen Bedingungen an \((v_n)\) finden Verff. sogar Aussagen über die lineare Unabhängigkeit von Reihen des hier betrachteten Typs \(\sum n^{v_n}/n!\). Die Beweismethoden sind eine Weiterentwicklung der in den beiden oben genannten Arbeiten verwendeten Schlussweisen.