\(p\)-adic continued fractions (Q638604)

\textit{T. Schneider} [Sympos. Math. 4, 181--189 (1970; Zbl 0222.10035)] bewies, dass sich jede ganze \(p\)-adische Zahl in eindeutiger Weise in einen \(p\)-adisch konvergenten Kettenbruch der Form \((\ast): \,\, b_0+p^{a_1}/(b_1+p^{a_2}/(b_2+p^{a_3}/...))\) mit \(b_0\in\{0,...,p-1\}\) sowie \(a_i\in\mathbb{N}, b_i\in\{1,...,p-1\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}\) entwickeln lässt. Diese Kettenbrüche zeigen in mancher Hinsicht ein ganz anderes Verhalten als ihre reellen Gegenstücke. Ref. [Elem. Math. 32, 36--40 (1977; Zbl 0344.10017)] charakterisierte die Elemente von \(\mathbb{Q}\cap\mathbb{Z}_p\) mit nicht abbrechender Kettenbruchentwicklung, und genau diese rationalen Zahlen werden hier eingehender untersucht je nachdem ob \(p=2\) oder \(p\geq3\) gilt. Schließlich beweisen Verff. folgendes \(p\)-adische Analogon zu einem Satz von Khinchin: Für fast alle \(x\in p\mathbb{Z}_p\) genügt die Entwicklung \((\ast)\) (mit \(b_0=0\)) der Bedingung \((a_1+...+a_n)/n\to p/(p-1)\) bei \(n\to\infty\); dabei bezieht sich `fast alle' auf das additive Haarsche Maß auf \(p\mathbb{Z}_p\).