On the tails of \(\mathsf{FI}\)-modules (Q6597178)

Soit \(k\) un anneau commutatif de base fixé. Rappelons qu'un \textit{\(\mathbf{FI}\)-module} (à gauche) est un foncteur depuis la catégorie \(\mathbf{FI}\) des ensembles finis avec injections vers la catégorie des \(k\)-modules.\N\NDans le cas où \(k\) est un corps et \(F\) un \(\mathbf{FI}\)-module de type fini, il est classique (et pas extrêmement difficile à montrer) que la ``fonction de dimensions'' de \(F\), c'est-à-dire la fonction \(\mathrm{d}_F: \mathbb{N}\to\mathbb{N}\quad n\mapsto F([n])\) (où \([n]\) est un ensemble de cardinal \(n\)) est \textit{polynomiale à partir d'un certain rang}; autrement dit, que \(\mathrm{d}_F\) coïncide, à partir d'un certain rang, avec une combinaison linéaire à coefficients dans \(\mathbb{Z}\) des fonctions \(\beta_i: n\mapsto \frac{\prod_{j=0}^{i-1}(n-j)}{i!}\) pour \(i\in\mathbb{N}\).\N\NLe résultat principal de l'article améliore ce résultat: il montre qu'en fait \(\mathrm{d}_F\) coïncide à partir d'un certain rang avec une combinaison linéaire \textit{à coefficients dans \(\mathbb{N}\)} des fonctions \(\beta_i-\beta_{i-1}\) pour \(i\in\mathbb{N}\) (avec la convention \(\beta_{-1}=0\)).\N\NLes auteurs montrent en fait bien plus: sans aucune hypothèse sur l'anneau commutatif \(k\), si \(F\) est un \(\mathbf{FI}\)-module présenté en degré fini \(d\) (si \(k\) est un anneau noethérien, tout \(\mathbf{FI}\)-module de type fini vérifie cette propriété pour \(d\) assez grand) il existe des \(k\)-modules \(A_i\) (pour \(0\le i\le d\)) tels que pour \(n\ge 2d-1\) on ait un isomorphisme \(k\)-linéaire \[F([n])\simeq\bigoplus_{i=0}^d A_i^{\oplus (\beta_i(n)-\beta_{i-1}(n))}\,.\] Les \(A_i\) sont donnés par le produit tensoriel au-dessus de la catégorie \(\mathbf{FI}\) avec des \(\mathbf{FI}\)-modules \textit{à droite} (i.e. contravariants) explicites.\N\NL'article établit d'autres résultats liés à ce théorème de structure spectaculaire; en particulier, il généralise un théorème de \textit{S. V. Sam} et \textit{A. Snowden} [Trans. Am. Math. Soc. 368, No. 2, 1097--1158 (2016; Zbl 1436.13012)] établissant que le quotient (au sens de Gabriel) de la catégorie des \(\mathbf{FI}\)-modules par la sous-catégorie localisante des modules ``de torsion'' (i.e. qui sont colimites de modules dont l'évaluation sur des ensembles de cardinal assez grand est nulle) est équivalente à cette sous-catégorie lorsque \(k\) est une \(\mathbb{Q}\)-algèbre. Cette équivalence tombe en défaut si l'on omet cette dernière hypothèse, mais l'article donne une description explicite de la catégorie quotient pour \(k\) quelconque qui se ramène à la précédente lorsque \(\mathbb{Q}\subset k\).\N\NL'idée principale des auteurs est de combiner des outils classiques en théorie des \(\mathbf{FI}\)-modules, notamment l'utilisation des foncteurs de décalage et de leurs adjoints à droite, à un résultat d'Isbell et Mitchell vieux de plus de 50 ans (voir [\textit{J. Isbell} et \textit{B. Mitchell}, Bull. Am. Math. Soc. 79, 994--996 (1973; Zbl 0253.18015)] et [\textit{J. Isbell}, Ann. Math. (2) 100, 633--637 (1974; Zbl 0253.18014)]) qui indique que les colimites de modules sur la catégorie \(\mathbf{OI}\) des ensembles finis totalement ordonnés avec injections croissantes est \textit{exact}. Initialement conçu pour donner un exemple de petite catégorie connexe non filtrante sur laquelle les colimites (de modules) sont exactes, ce résultat joue ici un rôle car une extension de Kan (exacte grâce au résultat qu'on vient de mentionner) associée au foncteur d'inclusion \(\mathbf{OI}\hookrightarrow\mathbf{FI}\) intervient dans les constructions de l'article.